Công thức lượng giác cho góc bội

Kỳ trước chúng ta đã học về cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa dựa vào công thức lượng giác $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$
Để tìm ra công thức của $\cos{\frac{\pi}{5}}$ như trên, chúng ta xuất phát từ đẳng thức $\cos{\frac{2 \pi}{5}} = -\cos{\frac{3 \pi}{5}}$ rồi dùng công thức lượng giác cho góc gấp đôi và góc gấp ba: $$\cos{2 x} = 2 \cos^2{x} - 1,$$ $$\cos{3 x} = 4 \cos^3{x} - 3 \cos{x}$$ để tạo ra một phương trình bậc ba cho $\cos{\frac{\pi}{5}}$.

Nhân tiện nói về công thức lượng giác, hôm nay chúng ta sẽ học một ứng dụng của số phức bằng cách dùng công thức Moivre của số phức để tìm ra công thức lượng giác cho góc bội: $\sin{nx}$, $\cos{nx}$, $\tan{nx}$ và $\cot{nx}$.

Dãy số - Phần 6

Hôm nay chúng ta sẽ học về phép sai phân và sẽ dùng nó để chứng minh một định lý cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính.

Định lý cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính. Giả sử phương trình đặc trưng có thể viết thành $$f(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_0 = (x - z)^j (b_s x^s + b_{s-1} x^{s-1} + \dots + b_0)$$ và $$f_n = p(n)~z^n,$$ trong đó $p(n)$ là một đa thức có bậc bé thua $j$. Vậy thì dãy số $f_n$ thoã mãn phương trình sai phân
$$a_k f_{n} + a_{k-1} f_{n-1} + \dots + a_1 f_{n-k+1} + a_0 f_{n-k} = 0.$$

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Kỳ trước chúng ta đã sử dụng kết quả của bài toán xếp hình để chứng minh các hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci. Hôm nay chúng ta tiếp tục đề tài này. Chúng ta sẽ chứng minh các hằng đẳng thức sau $${2011 \choose 0} + {2010 \choose 1} + {2009 \choose 2}+ {2008 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1004}+ {1006 \choose 1005} = F_{2012},$$ $${2012 \choose 0} + {2011 \choose 1} + {2010 \choose 2}+ {2009 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1005}+ {1006 \choose 1006} = F_{2013}.$$
Một cách tổng quát, chúng ta có hằng đẳng thức $$\sum_{v+u=n}{v \choose u} = F_{n+1}.$$ Thông qua hằng đẳng thức này chúng ta thấy một mối liên hệ thú vị giữa dãy số Fibonnaci và tam giác số Pascal.

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Kỳ trước chúng ta đã học về dãy số Fibonacci và về một bài toán xếp hình. Hôm nay chúng ta sẽ sử dụng bài toán xếp hình này để chứng minh một hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci, đó là $$F_{n+m+2} = F_{n+1} F_{m+1} + F_{n+1} F_m + F_n F_{m+1}.$$

Một bài toán cũng như một bức tranh, muốn nhìn thấy vẻ đẹp của nó chúng ta nhìn nó ở nhiều góc cạnh khác nhau. Ví dụ như hằng đẳng thức mà chúng ta học ngày hôm nay, chúng ta có thể chứng minh nó bằng cách sử dụng công thức $$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$$ rồi chúng ta đưa hai vế đẳng thức về bằng nhau qua một vài biến đổi đơn thuần đại số.

Nhưng thay vì chứng minh một cách "khô khan" bằng đại số như vậy, chúng ta sẽ dùng bài toán xếp hình mà chúng ta đã học ở bài trước để trình bày hai cách chứng minh cho hằng đẳng thức này. Hy vọng các bạn sẽ thấy cách chứng minh bằng tổ hợp này thú vị hơn.

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hôm nay chúng ta sẽ học về dãy số Fibonacci và về một bài toán xếp hình. Các bạn sẽ thấy rằng bài toán xếp hình thoạt nghe qua thì không liên quan gì đến dãy số Fibonacci, nhưng cuối cùng đáp số của bài toán xếp hình lại chính là dãy số Fibonacci!

Trước tiên, chúng ta giới thiệu về dãy số Fibonacci. Dãy số Fibonacci $\{F_n\}$ được xác định theo công thức sau đây: $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~F_{n+1} = F_n + F_{n-1}.$$

Do đó $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~F_2 = 1, ~F_3 = 2, ~F_4 = 3, ~F_5 = 5, ~F_6 = 8, ~F_7 = 13, ~F_8 = 21, \dots$$

Nhị thức Newton

Hôm trước chúng ta đã học về tam giác Pascal và cách khai triển nhị thức Newton dựa vào các hệ số trong tam giác Pascal. Nhân dịp học về quy nạp, chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

• công thức của tam giác số Pascal $$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$
• và định lý khai triển nhị thức Newton $$(x+y)^n = x^n + {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + \dots + {n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + {n \choose {n-1}} x y^{n-1} + y^n$$

Tam giác Pascal

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau học về một cấu trúc số nổi tiếng, đó là tam giác số Pascal.

tam giác số Pascal