Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét hai bài toán mà mới nhìn vào thì chúng ta thấy chúng có vẻ không liên quan gì đến nhau. Bài thứ nhất là một bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất còn bài thứ hai thì về tính chất của đường tiếp tuyến hình elip.

Trước hết chúng ta xem xét về hình elip. Hình elip là hình sau đây.

với mọi điểm $P$ trên hình elip thì $PF_1 + PF_2 = \ell$

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Tôi muốn chia xẻ với các bạn một kinh nghiệm mà tôi đã học được. Đó là khi đối diện với một bài toán mà chúng ta chưa biết phải làm như thế nào, thì việc đầu tiên chúng ta có thể làm là xem xét các trường hợp đặc biệt của bài toán. Xem xét các trường hợp đặc biệt giúp chúng ta dần dần hiểu rõ bài toán hơn. Để minh hoạ, chúng ta sẽ làm một vài bài toán.

modulo - Phần 6

Chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa về modulo. Hai số $a$ và $b$ gọi là bằng nhau theo modulo $n$ nếu $a-b$ là một bội số của $n$, và chúng ta dùng ký hiệu $a = b \pmod{n}$. Ví dụ như $9 = 1 \pmod{8}$ và $14 = -2 \pmod{8}$.

Bình thường chúng ta hình dung các số nguyên nằm trên một trục số và chúng ta làm các phép tính cộng trừ nhân chia trên đó, chẳng hạn như $2 + 7 = 9$, $2 \times 7 = 14$, v.v...

trục số của chúng ta

modulo - Phần 5

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau học về Định lý Fermat "nhỏ". Chúng ta sẽ thấy rằng định lý nhỏ Fermat rất là tiện dụng trong khi làm các phép tính toán modulo. Định lý này phát biểu như sau. Với mọi số nguyên tố $p$ và với mọi số nguyên $a$ không chia hết cho $p$ thì 

$$ a^{p-1} = 1 \pmod{p} . $$

Ví dụ:

• Với $p=7$ và $a=3$, $$3^6 = 1 \pmod{7}$$
• Với $p=13$ và $a=2014$, $$2014^{12} = 1 \pmod{13}$$
• Với $p=29$ và $a=15$, $$15^{28} = 1 \pmod{29}$$

modulo - Phần 4

Nếu nói về những nhà toán học nổi tiếng qua mọi thời đại thì cần phải nhắc đến Pierre de Fermat. Chúng ta đọc tên ông trong tiếng Việt là Fẹcma. Ông là nhà toán học người Pháp, sống vào thời thế kỷ thứ 17.

Nếu nói về ông thì phải nhắc đến bài toán Fermat của ông. Bài toán đã từng làm điên đầu cho những nhà toán học cỡ hàng đầu thế giới cho đến những em học sinh phổ thông. Cái lý do mà bài toán này có quá nhiều người biết đến, cũng như có quá nhiều người đủ mọi lứa tuổi tham gia giải, là vì nó được phát biểu rất đơn giản, một em học sinh cấp 2 là đã có thể hiểu được.

Bài toán Fermat là như sau. Chứng minh rằng với mọi số $n \geq 3$ thì phương trình sau không có nghiệm

$$
x^n+y^n=z^n
$$

Nghiệm ở đây là nghiệm khác không vì chỉ cần $x$, $y$ hay $z$ bằng 0 thì phương trình trở thành tầm thường rồi.

modulo - Phần 3

Kỳ này, chúng ta sẽ xem thêm một vài ví dụ về modulo. 

Ví dụ 1: Chứng minh rằng $11 + 2011^{2012} + 2012^{2013}$ chia hết cho 13.

modulo - Phần 2

Trong bài trước chúng ta đã học về khái niệm modulo. Hai số $a$ và $b$ được gọi là bằng nhau modulo $n$, ký hiệu $a = b \pmod{n}$, khi mà $a-b$ chia hết cho $n$.

Ví dụ $15 = 3 \pmod{4}$ và $99 = -1 \pmod{10}$.

modulo - Phần 1

Trong bài này chúng ta sẽ học về khái niệm modulo. Hai số $a$ và $b$ được gọi là bằng nhau modulo $n$ nếu $a$ và $b$ có cùng số dư khi chia cho $n$. Hay nói cách khác, là $(a-b)$ chia hết cho $n$. Chúng ta sẽ viết $a = b \pmod{n}$.

Ví dụ như, $5 = 9 \pmod{2}$, $-1 = 3 \pmod{2}$, $-2 = -8 \pmod{2}$. Rõ ràng theo modulo 2 thì một số $a$ bất kỳ sẽ hoặc là $a=0 \pmod{2}$ khi nó là số chẳn, hoặc là $a=1 \pmod{2}$ khi nó là số lẽ. 

Không gian 4 chiều là gì?

Trong toán học chúng ta thường nghe nói đến không gian 4 chiều, 5 chiều, v.v..., vậy thì chiều thứ 4 và chiều thứ 5 nằm ở đâu, làm sao chúng ta có thể tưởng tượng ra những chiều này.

Tam giác đồng dạng

Hôm nay chúng ta sẽ học về tam giác đồng dạng và sẽ dùng tam giác đồng dạng để chứng minh Định lý Pitago. 

Phép nhân thời đồ đá

Xin kể với các bạn một phương pháp làm phép tính nhân của người cổ đại. Tôi không còn nhớ phương pháp này tên gọi là gì và được phát minh ra từ thời nào. Thôi, chúng ta tạm gọi là phương pháp "làm tính nhân thời đồ đá" vậy!

Định lý Morley

Cho một hình tam giác $ABC$. Các đường chia ba góc $A$, $B$, $C$ của tam giác cắt nhau tại các điểm $A'$, $B'$, $C'$ như hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng tam giác $A'B'C'$ là một tam giác đều. Đây gọi là định lý Morley.