Chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa về modulo. Hai số $a$ và $b$ gọi là bằng nhau theo modulo $n$ nếu $a-b$ là một bội số của $n$, và chúng ta dùng ký hiệu $a = b \pmod{n}$. Ví dụ như $9 = 1 \pmod{8}$ và $14 = -2 \pmod{8}$.
Bình thường chúng ta hình dung các số nguyên nằm trên một trục số và chúng ta làm các phép tính cộng trừ nhân chia trên đó, chẳng hạn như $2 + 7 = 9$, $2 \times 7 = 14$, v.v...
 |
| trục số của chúng ta |
Bây giờ chúng ta thử tưởng tượng rằng có một hành tinh mang tên Modulo8 ở một nơi nào đó trong vũ trụ. Sinh vật trên hành tinh đó cũng có các số -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4... y hệt như chúng ta. Các số này cũng nằm trên một trục số, chỉ có điều là trục số của những sinh vật này không phải là đường thẳng. Thay vào đó, các sinh vật trên hành tinh Modulo8 dùng một trục số hình tròn như hình dưới đây mà ở đó các số -8, 0, 8, 16 nằm chung với nhau, còn các số -7, 1, 9, 17 thì được ghi trên cùng một vị trí. Các sinh vật này cũng làm toán y như chúng ta, đó là $2 + 7 = 9$, $2 \times 7 = 14$. Tuy nhiên khi ghi xuống kết quả các sinh vật này lại ghi xuống thành $2 + 7 = 1$ và $2 \times 7 = -2$. Đó là vì đối với các sinh vật trên Modulo8, hai số $1$ và $9$ là như nhau và chúng không phân biệt được sự khác nhau giữa $14$ và $-2$. Rõ ràng những sinh vật này đang làm toán modulo 8!
 |
| trục số trên hành tinh Modulo8 |
Bởi vì các tính toán không phụ thuộc vào trục số là cong hay thẳng, làm tính trên modulo cũng tương tự như làm tính bình thường mà chúng ta vẫn thường làm, do đó chúng ta có các tính chất sau.
- Công thức Cộng: nếu $a=b \pmod{n}$ và $c=d \pmod{n}$ thì $a+c = b+d \pmod{n}$
- Công thức Nhân: nếu $a=b \pmod{n}$ và $c=d \pmod{n}$ thì $ac = bd \pmod{n}$
- Công thức Luỹ thừa: nếu $a=b \pmod{n}$ thì $a^k = b^k \pmod{n}$
Trong các công thức này thì Công thức Luỹ thừa là đặc biệt tiện dụng. Ví dụ như dùng Công thức Luỹ thừa, chúng ta có thể dễ dàng giải thích quy tắc chia hết cho số 9 và số 11 như sau.
Quy tắc chia hết cho 9
Điểm cốt yếu ở đây là $10 = 1 \pmod{9}$, và dùng công thức Luỹ thừa chúng ta có $10^k = 1^k = 1 \pmod{9}$. Vì vậy
$$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0} = 10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1}+ \dots + 10 a_1+ a_0$$ $$ = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 \pmod{9}$$
Dùng modulo, chúng ta vừa chứng minh được
$$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0} = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 \pmod{9}$$
Do đó, muốn biết một số có chia hết cho 9 hay không, chúng ta cộng tất cả các chữ số của nó lại, nếu tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó sẽ chia hết cho 9.
Ví dụ như chúng ta muốn biết xem số 2457 có chia hết cho 9 hay không, chúng ta tính
$$2457 = 2 + 4 + 5 + 7 = 0 \pmod{9}$$
Vậy số 2457 chia hết cho 9.
Còn số 83699 thì như thế nào? Chúng ta tính
$$83699 = 8 + 3 + 6 + 9 + 9 = 8 \pmod{9}$$
Vậy số 83699 không chia hết cho 9.
$$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0} = 10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1}+ \dots + 10 a_1+ a_0$$ $$ = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 \pmod{9}$$
Dùng modulo, chúng ta vừa chứng minh được
$$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0} = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 \pmod{9}$$
Do đó, muốn biết một số có chia hết cho 9 hay không, chúng ta cộng tất cả các chữ số của nó lại, nếu tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó sẽ chia hết cho 9.
Ví dụ như chúng ta muốn biết xem số 2457 có chia hết cho 9 hay không, chúng ta tính
$$2457 = 2 + 4 + 5 + 7 = 0 \pmod{9}$$
Vậy số 2457 chia hết cho 9.
Còn số 83699 thì như thế nào? Chúng ta tính
$$83699 = 8 + 3 + 6 + 9 + 9 = 8 \pmod{9}$$
Vậy số 83699 không chia hết cho 9.
Quy tắc chia hết cho 11
Điểm mấu chốt là $10 = -1 \pmod{11}$ và vì vậy nên $10^k = (-1)^k = \pm 1 \pmod{11}$. Do đó
$$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0} = 10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1}+ \dots + 10 a_1+ a_0$$ $$ = (-1)^n a_n + (-1)^{n-1}a_{n-1} + \dots + (-1) a_1 + a_0 \pmod{11}$$
Để kiểm tra xem một số $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$ có chia hết cho 11 hay không, chúng ta làm phép tính $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots $, nếu kết quả là bội số của 11 thì số ban đầu phải chia hết cho 11.
Chúng ta thử kiểm tra xem số 2457 có chia hết cho 11 hay không, chúng ta tính
$$2457 = - 2 + 4 - 5 + 7 = 4 \pmod{11}$$
Vậy số 2457 không chia hết cho 11.
Còn số 83699 thì sao?
$$83699 = 8 - 3 + 6 - 9 + 9 = 0 \pmod{11}$$
Chúng ta kết luận rằng số 83699 chia hết cho 11.
$$\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0} = 10^n a_n + 10^{n-1}a_{n-1}+ \dots + 10 a_1+ a_0$$ $$ = (-1)^n a_n + (-1)^{n-1}a_{n-1} + \dots + (-1) a_1 + a_0 \pmod{11}$$
Để kiểm tra xem một số $\overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0}$ có chia hết cho 11 hay không, chúng ta làm phép tính $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots $, nếu kết quả là bội số của 11 thì số ban đầu phải chia hết cho 11.
Chúng ta thử kiểm tra xem số 2457 có chia hết cho 11 hay không, chúng ta tính
$$2457 = - 2 + 4 - 5 + 7 = 4 \pmod{11}$$
Vậy số 2457 không chia hết cho 11.
Còn số 83699 thì sao?
$$83699 = 8 - 3 + 6 - 9 + 9 = 0 \pmod{11}$$
Chúng ta kết luận rằng số 83699 chia hết cho 11.
Modulo là một khái niệm rất quan trọng trong số học và đại số. Chúng ta đang học về modulo cho số nguyên. Những gì chúng ta làm cho số nguyên chúng ta cũng có thể làm tương tự cho các đối tượng toán học khác. Một trong các đối tượng đó là đa thức. Chúng ta có thể dùng modulo đa thức như sau
$$2 t^2 + 3t + 7 = 3t + 5 \pmod{t^2 + 1}$$
$$(t+2)(3t+4) = 3t^2 + 10 t + 8 = 10 t + 5 \pmod{t^2+1}$$
Ở đây $a = b \pmod{n}$ nếu tồn tại một đa thức $\alpha$ để cho $a-b = \alpha n$.
Hoặc thậm chí, thay vì lấy modulo trên một đối tượng như $\pmod{n}$, chúng ta có thể lấy modulo trên hai hay ba đối tượng $\pmod{n_1, n_2,...}$, ví dụ như
$$2 t^2 + 3t + 7 = 2 \pmod{t^2 + 1, 3}$$
$$(t+2)(3t+4) = 3t^2 + 10 t + 8 = 10 t + 5 = t + 2 \pmod{t^2+1,3}$$
Ở đây chúng ta định nghĩa $a = b \pmod{n_1, n_2}$ nếu $a-b = \alpha_1 n_1 + \alpha_2 n_2$.
Đến đây tôi xin dừng chuổi bài về "modulo". Nếu các bạn thích các bài viết này thì các bạn hãy chia xẻ blog này với các bạn của mình. Để thay đổi không khí, trong các bài viết tới chúng ta sẽ học về hình học và sau đó chúng ta sẽ quay trở lại với số học với các câu chuyện về "bộ số Pitago", "Định lý Wilson", "Định lý Fermat về tổng của hai số bình phương" và nhiều nhiều thứ hấp dẫn khác!
