Số nào lớn hơn? Số nào nhỏ hơn?

Hôm nay chúng ta xem xét hai câu đố mẹo sau đây:

Câu hỏi 1: Trong hai số 4444 x 55555 và 5555 x 44444, số nào lớn hơn? số nào nhỏ hơn?


Câu hỏi 2: Trong hai số 5000 x 5000 và 4999 x 5001, số nào lớn hơn? số nào nhỏ hơn?

Dãy số - Phần 9

Đây là bài cuối cùng trong chuỗi bài về dãy số. Nếu các bạn chưa đọc các bài trước thì đây là bài đầu tiên "Dãy số - Phần 1".

Hôm nay chúng ta sẽ làm thêm một ít bài tập về dãy số. Trong các bài tập này chúng ta sẽ chứng minh một vài hằng đẳng thức thú vị. Chẳng hạn, với dãy số Pell $$P_0=0, ~~P_1 = 1, ~~P_n = 2 P_{n-1} + P_{n-2},$$ và dãy số Pell-đồng hành $$H_0=1, ~~H_1 = 1, ~~H_n = 2 H_{n-1} + H_{n-2},$$ chúng ta có hằng đẳng thức $$H_n^2 - 2 P_n^2 = (-1)^n.$$

Với dãy số Fibonacci quen thuộc $$F_0 = 0, ~~F_1 = 1, ~~F_n = F_{n-1} + F_{n-2},$$ chúng ta sẽ chứng minh rằng $$\frac{F_{2013(n+1)} - F_{2013 (n−1)}}{F_{2013 n}} = \frac{F_{2013(n^{2013}+1)} - F_{2013 (n^{2013}−1)}}{F_{2013 n^{2013}}}.$$

Dãy số - Phần 8

Kỳ trước chúng ta đã học về cách tìm công thức tổng quát cho dãy số ở dạng lượng giác cho trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm số phức. Hôm nay chúng ta sẽ làm thêm nhiều bài tập về dạng này.

Dãy số - Phần 7

Hôm nay chúng ta tiếp tục học về phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính để tìm công thức tổng quát cho dãy số. Chúng ta sẽ xem xét trường hợp mà phương trình đặc trưng có nghiệm số phức. Với trường hợp này, chúng ta có hai cách giải. Cách giải thứ nhất giống như trường hợp mà chúng ta đã học ở các bài trước. Còn cách giải thứ nhì thì chúng ta biểu diễn nghiệm số phức dưới dạng lượng giác và chúng ta sẽ có một công thức lượng giác cho dãy số.

Dãy số - Phần 6

Hôm nay chúng ta sẽ học về phép sai phân và sẽ dùng nó để chứng minh một định lý cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính.

Định lý cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính. Giả sử phương trình đặc trưng có thể viết thành $$f(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_0 = (x - z)^j (b_s x^s + b_{s-1} x^{s-1} + \dots + b_0)$$ và $$f_n = p(n)~z^n,$$ trong đó $p(n)$ là một đa thức có bậc bé thua $j$. Vậy thì dãy số $f_n$ thoã mãn phương trình sai phân
$$a_k f_{n} + a_{k-1} f_{n-1} + \dots + a_1 f_{n-k+1} + a_0 f_{n-k} = 0.$$

Dãy số - Phần 5

Hôm nay chúng ta sẽ làm một số bài tập để rèn luyện kỹ năng giải phương trình sai phân tuyến tính.

Dãy số - Phần 4

Hôm nay chúng ta sẽ học về cách giải phương trình sai phân tuyến tính để tìm công thức tổng quát cho dãy số. Phương pháp này có thể sử dụng ở mọi trường hợp, kể cả trường hợp mà phương trình đặc trưng có nghiệm bội.

Dãy số - Phần 3

Đây là bài thứ ba trong loạt bài về dãy số. Bài này không chứa đựng thông tin gì mới, mục đích của bài này chỉ là để trình bày các ví dụ. Nếu các bạn chưa đọc các phần trước thì bấm vào đây để đọc: Phần 1, Phần 2.

Dãy số - Phần 2

Đây là bài thứ hai trong loạt bài về dãy số. Các bạn nên đọc kỹ phần 1 trước khi đọc bài này. Hôm nay chúng ta sẽ học thêm một số thuật ngữ về dãy số, và chúng ta sẽ trình bày phương pháp tổng quát để giải phương trình sai phân tuyến tính.

Dãy số - Phần 1

Hôm nay chúng ta sẽ mở đầu cho một chuổi bài về dãy số. Mục đích của chuổi bài này là trình bày cho các bạn cách tìm công thức tổng quát cho những dãy số xác định bởi các công thức truy hồi tuyến tính. Chúng ta sẽ bắt đầu bài học với những tính chất chung chung của dãy số, cụ thể là chúng ta sẽ học về phép cọng của hai dãy số, và phép nhân một hằng số với một dãy số.

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Kỳ trước chúng ta đã sử dụng kết quả của bài toán xếp hình để chứng minh các hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci. Hôm nay chúng ta tiếp tục đề tài này. Chúng ta sẽ chứng minh các hằng đẳng thức sau $${2011 \choose 0} + {2010 \choose 1} + {2009 \choose 2}+ {2008 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1004}+ {1006 \choose 1005} = F_{2012},$$ $${2012 \choose 0} + {2011 \choose 1} + {2010 \choose 2}+ {2009 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1005}+ {1006 \choose 1006} = F_{2013}.$$
Một cách tổng quát, chúng ta có hằng đẳng thức $$\sum_{v+u=n}{v \choose u} = F_{n+1}.$$ Thông qua hằng đẳng thức này chúng ta thấy một mối liên hệ thú vị giữa dãy số Fibonnaci và tam giác số Pascal.

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Kỳ trước chúng ta đã học về dãy số Fibonacci và về một bài toán xếp hình. Hôm nay chúng ta sẽ sử dụng bài toán xếp hình này để chứng minh một hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci, đó là $$F_{n+m+2} = F_{n+1} F_{m+1} + F_{n+1} F_m + F_n F_{m+1}.$$

Một bài toán cũng như một bức tranh, muốn nhìn thấy vẻ đẹp của nó chúng ta nhìn nó ở nhiều góc cạnh khác nhau. Ví dụ như hằng đẳng thức mà chúng ta học ngày hôm nay, chúng ta có thể chứng minh nó bằng cách sử dụng công thức $$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$$ rồi chúng ta đưa hai vế đẳng thức về bằng nhau qua một vài biến đổi đơn thuần đại số.

Nhưng thay vì chứng minh một cách "khô khan" bằng đại số như vậy, chúng ta sẽ dùng bài toán xếp hình mà chúng ta đã học ở bài trước để trình bày hai cách chứng minh cho hằng đẳng thức này. Hy vọng các bạn sẽ thấy cách chứng minh bằng tổ hợp này thú vị hơn.

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hôm nay chúng ta sẽ học về dãy số Fibonacci và về một bài toán xếp hình. Các bạn sẽ thấy rằng bài toán xếp hình thoạt nghe qua thì không liên quan gì đến dãy số Fibonacci, nhưng cuối cùng đáp số của bài toán xếp hình lại chính là dãy số Fibonacci!

Trước tiên, chúng ta giới thiệu về dãy số Fibonacci. Dãy số Fibonacci $\{F_n\}$ được xác định theo công thức sau đây: $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~F_{n+1} = F_n + F_{n-1}.$$

Do đó $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~F_2 = 1, ~F_3 = 2, ~F_4 = 3, ~F_5 = 5, ~F_6 = 8, ~F_7 = 13, ~F_8 = 21, \dots$$

Công thức Moivre

Ở bài trước chúng ta đã học sơ qua về số phức. Hôm nay chúng ta sẽ học về dạng lượng giác của số phức và công thức Moivre.

Số phức

Hôm nay chúng ta sẽ học về số phức. Điểm mấu chốt của số phức là chúng ta chấp nhận một số mà chúng ta sẽ ký hiệu là $i$. Số $i$ này rất đặc biệt vì $$i^2 = -1.$$

Như vậy số phức sẽ có dạng $$a + ib$$ trong đó $a$ và $b$ là hai số thực. Nếu $b=0$ thì $a + ib = a$ là số thuần thực, còn nếu $a=0$ thì $a + ib = ib$ là số thuần phức. Sau đây là ví dụ về số phức: $$1+ i, ~~ 2 - 3i, ~~ -\sqrt{3} + 4i, ~~5i - 4, ~~6, ~~i, ~~-3i, ~~4 + 2i, \dots$$

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Kỳ trước chúng ta đã học cách tìm công thức tính tổng các luỹ thừa $$S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k.$$
Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các tính chất chia hết của $S_k(n)$. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_k(p-1) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + (p-1)^k = 0 \pmod{p}.$$

Đồng thời chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về $$S_{-k}(n) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{n^k}.$$

Có một định lý trong số học liên quan đến tính chia hết của $S_{-k}(n)$, đó là Định lý Wolstenholme.

Định lý Wolstenholme. Nếu $p$ là một số nguyên tố $>3$ thì $$S_{-1}(p-1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{p-1} ~=_{Q} ~0 \pmod{p^2} $$ và $$S_{-2}(p-1) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(p-1)^2} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$

Chúng ta sẽ chứng minh một tính chất tổng quát hơn, đó là nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_{-k}(p-1) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{(p-1)^k} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$

Tổng luỹ thừa

Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức tính tổng các luỹ thừa $$S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k .$$


Công cụ chính mà chúng ta sẽ dùng là nhị thức Newton sau đây $$(x+y)^k = x^k + {k \choose 1} x^{k-1} y + {k \choose 2} x^{k-2} y^2 + {k \choose 3} x^{k-3} y^3 + \dots + {k \choose {k-1}} x y^{k-1} + y^k.$$

Thuật toán Euclid

Kỳ trước chúng ta đã học về bổ đề Bezout. Hôm nay chúng ta sẽ học về thuật toán Euclid. Thuật toán này dùng để xác định các hệ số trong đẳng thức Bezout.

Trước hết chúng ta phát biểu bổ đề Bezout. 

Bổ đề Bezout. Nếu $d$ là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên $a$ và $b$ thì sẽ tồn tại hai số nguyên $x$ và $y$ sao cho $$d = a ~x + b ~y.$$

Thuật toán Euclid mục đích đi tìm ước số chung lớn nhất $d$ của hai số $a$ và $b$, và xác định hai giá trị của $x$ và $y$ trong đẳng thức Bezout $$d = a ~x + b ~y.$$

Ý tưởng của thuật toán Euclid rất đơn giản và tự nhiên.

Bổ đề Bezout

Hôm nay chúng ta sẽ học về một kết quả rất hay trong số học, đó là bổ đề Bezout. Bổ đề này phát biểu như sau.

Bổ đề Bezout. Nếu $d$ là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên $a$ và $b$ thì sẽ tồn tại hai số nguyên $x$ và $y$ sao cho $$d = a x + b y.$$

Muốn xác định giá trị của hai số $x$ và $y$ trong bổ đề Bezout, chúng ta có thể dùng thuật toán Euclid. Chúng ta sẽ học về thuật toán này vào kỳ sau.

Chứng minh lại định lý Wilson

Kỳ trước chúng ta đã học về modulo cho số hữu tỷ. Để miêu tả ứng dụng của nó, hôm nay chúng ta sẽ chứng minh lại Định lý Wilson bằng cách sử dụng ngôn ngữ modulo.

Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này được phát biểu như sau.

Định lý Wilson. Nếu $p$ là một số nguyên tố thì $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$