Kỳ trước chúng ta đã học về modulo cho số hữu tỷ. Để miêu tả ứng dụng của nó, hôm nay chúng ta sẽ chứng minh lại Định lý Wilson bằng cách sử dụng ngôn ngữ modulo.
Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này được phát biểu như sau.
Định lý Wilson. Nếu $p$ là một số nguyên tố thì $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$
Ví dụ,
- với $p=2$, $$1! = 1= -1 \pmod{2}$$
- với $p=3$, $$2! = 2 = -1 \pmod{3}$$
- với $p=5$, $$4! = 24 = -1 \pmod{5}$$
- với $p=7$, $$6!= 720 = -1 \pmod{7}$$
Thường thường để giải quyết một bài toán về số nguyên bằng cách sử dụng modulo cho số hữu tỷ thì chúng ta sử dụng một định lý đơn giản sau đây
Định lý. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Vậy thì $$a =_{Q} ~b \pmod{n}$$ sẽ tương đương với điều kiện $$a=b \pmod{n}.$$
Giả sử chúng ta cần chứng minh $a=b \pmod{n}$ cho hai số nguyên $a$ và $b$ nào đó. Đôi khi, nếu chúng ta chứng minh theo modulo cho số nguyên thì có thể rất khó để chứng minh được trực tiếp $a=b \pmod{n}$. Tuy nhiên, nếu chúng ta dùng modulo cho số hữu tỷ, thì trong quá trình chứng minh, chúng ta không còn bị hạn chế bởi số nguyên nữa, mà chúng ta có thể dùng cả những số hữu tỷ. Và nhờ vậy, có thể chúng ta sẽ chứng minh được $$a =_{Q} ~b \pmod{n}$$ một cách dễ dàng hơn. Rồi từ đây, chúng ta sử dụng định lý trên để đưa về $$a=b \pmod{n}.$$
Bây giờ chúng ta sẽ dùng phương pháp trên để chứng minh Định lý Wilson. Lời giải sẽ dùng công thức nội suy Newton với đa thức sau đây $$P(x) = x^{p-1} -1.$$
Theo Định lý nhỏ Fermat thì đa thức này sẽ có tính chất sau đây $$P(1) = P(2) = P(3) = \dots = P(p-1) = 0 \pmod{p}.$$
Chứng minh Định lý Wilson sử dụng công thức Newton
Nếu $P(x)$ là một đa thức bậc $n$ và $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số khác nhau thì công thức nội suy Newton là công thức sau đây $$P(x)=\alpha_1 + \alpha_2 (x−x_1)+ \alpha_3 (x−x_1)(x−x_2)+ \dots + \alpha_{n+1} (x−x_1)(x−x_2) \dots (x−x_n)$$
Các hệ số trong công thức nội suy Newton được xác định như sau. Muốn xác định hệ số $\alpha_1$, chúng ta thay $x=x_1$ vào công thức. Muốn xác định hệ số $\alpha_2$, chúng ta thay $x=x_2$. Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng $\alpha_{n+1}$ sẽ được xác định nếu chúng ta thay $x=x_{n+1}$.
Đa thức mà chúng ta sẽ dùng là đa thức $P(x)=x^{p−1}−1$ có bậc là $p−1$. Chúng ta sẽ sử dụng $x_1=1$, $x_2=2$, $\dots$, $x_p=p$. Công thức nội suy Newton sẽ trở thành như sau $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$
Rõ ràng các số $\alpha_i$ là các số hữu tỷ. Chúng ta sẽ chứng minh hai điều sau:
- $\alpha_{p} = 1$
- với mọi $i=1,2, \dots, p-1$, $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Chứng minh $\alpha_{p} = 1$
Để chứng minh $\alpha_{p} = 1$, chúng ta so sánh hệ số của bậc $p−1$ trong công thức nội suy Newton $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$
Chúng ta thấy rằng ở vế bên trái, hệ số của $x^{p−1}$ chính là $1$, còn ở vế bên phải hệ số của $x^{p−1}$ chính là $\alpha_p$. Do đó $\alpha_{p} = 1$.
Chứng minh $\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}$ cho các trường hợp $i=1,2, \dots, p-1$
Từ công thức nội suy $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$
- Thay $x=1$, chúng ta có $$\alpha_1 = 0$$
- Thay $x=2$, chúng ta có $$P(2) = \alpha_2.$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(2) = 0 \pmod{p}$, do đó $$\alpha_2 =_{Q} ~0 \pmod{p}$$
- Thay $x=3$, chúng ta có $$P(3) = \alpha_2 (3-1) + \alpha_3 (3-1)(3-2).$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(3) = 0 \pmod{p}$, chúng ta lại có $\alpha_2 =_{Q} ~0 \pmod{p}$, do đó $$\alpha_3 (3-1)(3-2) =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$ Từ đó suy ra $$\alpha_3 =_{Q} ~0 \pmod{p}$$
- Tương tự, thay $x=i$, chúng ta có $$P(i) = \alpha_2 (i-1) + \alpha_3 (i-1)(i-2) + \dots + \alpha_i ~(i-1)!$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(i) = 0 \pmod{p}$, chúng ta lại có $$\alpha_2 =_{Q} ~\alpha_3 =_{Q} ~\dots =_{Q} ~\alpha_{i-1} =_{Q} ~0 \pmod{p},$$ do đó $$\alpha_i ~(i-1)! =_{Q} ~0 \pmod{p},$$ từ đó suy ra $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Tóm lại, chúng ta chứng minh được
- $\alpha_{p} = 1$
- với mọi $i=1,2, \dots, p-1$, $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Do đó từ công thức Newton $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$ chúng ta suy ra rằng với mọi số hữu tỷ $x$ thì $$P(x)=x^{p−1}−1 =_{Q} ~ (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1)) \pmod{p}$$
Thay $x=0$, chúng ta có $$-1 =_{Q} ~ (−1)(−2) \dots (−(p-1)) \pmod{p}.$$ Tức là $$(-1)^{p-1} (p-1)! =_{Q} -1 \pmod{p}.$$
Nhưng cả hai vế là số nguyên, cho nên $$(-1)^{p-1} (p-1)! = -1 \pmod{p}.$$
Từ đó chúng ta có Định lý Wilson $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$
Hôm nay chúng ta đã chứng minh định lý Wilson bằng cách sử dụng định lý nhỏ Fermat và công thức nội suy Newton. Cách chứng minh này dùng ngôn ngữ modulo cho số hữu tỷ. Các bạn có thể đọc thêm các bài viết về Định lý Wilson trên blog này theo các link sau đây: Định lý Wilson I, Định lý Wilson II. Chúng ta tạm dừng ở đây, và xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.
Bài tập về nhà. Chứng minh định lý Wilson bằng cách sử dụng công thức nội suy Lagrange theo các bước sau đây.
Giả sử $p$ là một số nguyên tố.
1. Cho $f(x)$ là một đa thức có hệ số hữu tỷ và có bậc bé thua hoặc bằng $p-2$. Dùng công thức nội suy Lagrange để chứng minh rằng nếu $$f(1) =_{Q} ~f(2) =_{Q} ~f(3) =_{Q} \dots =_{Q} ~f(p-1) =_{Q} 0 \pmod{p}$$ thì tất cả các hệ số của đa thức $f(x)$ sẽ $=_{Q} ~0 \pmod{p}$.
2. Cho $f(x)$ là một đa thức có hệ số nguyên và có bậc bé thua hoặc bằng $p-2$. Chứng minh rằng nếu $$f(1) = f(2) = f(3) = \dots = f(p-1) = 0 \pmod{p}$$ thì tất cả các hệ số của đa thức $f(x)$ sẽ $= 0 \pmod{p}$.
3. Lấy $$f(x) = (x^{p-1} -1) - (x-1)(x-2) \dots (x-(p-1))$$ Chứng minh rằng các hệ số của đa thức $f(x)$ sẽ $= 0 \pmod{p}$.
Hệ số tự do của đa thức trên bằng $$-1 - (-1)^{p-1} (p-1)!$$ Từ đó suy ra Định lý Wilson.