Đây là bài thứ hai trong loạt bài về dãy số. Các bạn nên đọc kỹ phần 1 trước khi đọc bài này. Hôm nay chúng ta sẽ học thêm một số thuật ngữ về dãy số, và chúng ta sẽ trình bày phương pháp tổng quát để giải phương trình sai phân tuyến tính.
Chúng ta sẽ bắt đầu với một dãy số đơn giản nhất, đó là $$f_0 = 3, ~~~f_{n} = 2 f_{n-1}.$$
Dãy số $\{f_n\}$ này được gọi là một cấp số nhân, bởi vì mỗi số hạng $f_n$ gấp đôi số hạng đứng trước nó là $f_{n-1}$. Như vậy $$f_0=3, ~f_1 = 6, ~f_2 = 12, ~f_3 = 24, ~f_4 = 48, ~f_5 = 96, ~f_6 = 192, \dots $$
Chúng ta có $$f_n = 2 f_{n-1} = 2^2 f_{n-2} = 2^3 f_{n-3} = \dots = 2^n f_0 = 3 \times 2^n.$$
Vậy công thức tổng quát của dãy số $\{f_n\}$ là $f_n = 3 \times 2^n$.
Phương trình $$f_{n} = 2 f_{n-1}$$ của dãy số $\{f_n\}$ ở trên được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc 1, đó là vì $f_n$ chỉ phụ thuộc vào $f_{n-1}$.
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét phương trình sai phân bậc 2. Chúng ta sẽ tìm công thức tổng quát cho dãy số được xác định bởi quy luật sau đây $$f_0=7, ~~f_1=1, ~~f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}.$$ Công thức truy hồi $$f_n = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2}$$ của dãy số này được gọi là phương trình sai phân bậc 2 vì $f_n$ phụ thuộc vào hai số hạng đứng trước nó là $f_{n-1}$ và $f_{n-2}$.
Chúng ta thấy rằng quy luật của dãy số này gồm hai phần:
- Phần thứ nhất: gọi là điều kiện ban đầu, đó là $f_0 = 7$, $f_1 = 1$.
- Phần thứ hai: gọi là phương trình sai phân, đó là $f_{n} = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2}$
Rõ ràng có duy nhất một dãy số thoã mãn điều kiện $$f_0=7, ~f_1=1, ~f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}.$$
Tuy nhiên, sẽ có vô số các dãy số thõa mãn phương trình sai phân $$f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}.$$
Các bạn sẽ dễ dàng chứng minh được rằng nếu các dãy số $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\dots$, $\{c_n\}$ thõa mãn phương trình sai phân $$f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}$$ thì tổng tuyến tính của chúng, dãy số $\alpha ~ \{a_n\} + \beta ~ \{b_n\} + \dots + \gamma ~ \{c_n\}$, cũng thõa mãn phương trình sai phân $$f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}.$$ Ở phần 1 chúng ta đã chứng minh tính chất này. Đây là một tính chất đơn giản nhưng có ý nghĩa vô cùng quan trọng. Các bạn hãy ghi nhớ tính chất này vì chúng ta sẽ sử dụng tính chất này nhiều lần khi học về dãy số.
Ở bài toán dưới đây, chúng ta tạm thời bỏ qua điều kiện ban đầu mà chỉ chú trọng đến phương trình sai phân. Chúng ta sẽ tìm tất cả các dãy số có dạng $f_n = z^n$ thoã mãn phương trình sai phân.
Bài toán 1: Tìm tất cả các dãy số có dạng $f_n = z^n$ sao cho $f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}$.
Lời giải: Thay $f_n = z^n$ vào phương trình $f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}$ chúng ta có $$z^n = 2 z^{n-1} + 3 z^{n-2}.$$
Trường hợp $z = 0$, chúng ta sẽ có dãy số $f_n = 0$.
Trường hợp $z \neq 0$, chúng ta chia hai vế của phương trình trên cho $z^{n-2}$ sẽ được $$z^2 = 2 z + 3.$$
Giải phương trình bậc hai $$x^2 - 2 x - 3 =0$$ chúng ta tìm được hai nghiệm $x = -1$ và $x=3$.
Vậy $z =-1$ hoặc $z = 3$.
Tóm lại, có ba dãy số có dạng $f_n = z^n$ thõa mãn phương trình $f_n = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2}$, đó là $$f_n = 0, ~f_n = (-1)^n , ~f_n = 3^n.$$
Từ bài toán số 1, bằng cách lấy tổng tuyến tính, chúng ta sẽ tạo ra vô số các dãy số thõa mãn phương trình sai phân $f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}$.
Lời giải: Thay $f_n = z^n$ vào phương trình $f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}$ chúng ta có $$z^n = 2 z^{n-1} + 3 z^{n-2}.$$
Trường hợp $z = 0$, chúng ta sẽ có dãy số $f_n = 0$.
Trường hợp $z \neq 0$, chúng ta chia hai vế của phương trình trên cho $z^{n-2}$ sẽ được $$z^2 = 2 z + 3.$$
Giải phương trình bậc hai $$x^2 - 2 x - 3 =0$$ chúng ta tìm được hai nghiệm $x = -1$ và $x=3$.
Vậy $z =-1$ hoặc $z = 3$.
Tóm lại, có ba dãy số có dạng $f_n = z^n$ thõa mãn phương trình $f_n = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2}$, đó là $$f_n = 0, ~f_n = (-1)^n , ~f_n = 3^n.$$
Từ bài toán số 1, bằng cách lấy tổng tuyến tính, chúng ta sẽ tạo ra vô số các dãy số thõa mãn phương trình sai phân $f_n = 2 f_{n-1} + 3f_{n-2}$.
Với hai số $\alpha$ và $\beta$ bất kỳ, dãy số xác định bởi công thức $$f_n = \alpha ~ (-1)^n + \beta ~ 3^n$$ thõa mãn phương trình sai phân $$f_n = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2}.$$
Bài toán 2: Xác định giá trị của hai hằng số $\alpha$ và $\beta$ sao cho dãy số $$f_n = \alpha ~ (-1)^n + \beta ~ 3^n$$ thõa mãn điều kiện $$f_0 = 7, ~f_1 =1, ~f_n = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2}.$$
Lời giải: Lần lượt thay $n=0$ và $n=1$, chúng ta có
$$f_0 = \alpha + \beta = 7,$$
$$f_1 = - \alpha + 3 \beta = 1.$$
Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = 5$ và $\beta = 2$. Từ đó chúng ta có $$f_n = 5 \times (-1)^n + 2 \times 3^n .$$
Chúng ta xem xét phương trình sai phân bậc 3 $$f_{n} = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}.$$
Bài toán 3: Tìm tất cả các dãy số có dạng $f_n = z^n$ thoã mãn $f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}$.
Lời giải: Thay $f_n = z^n$ vào phương trình $f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}$ chúng ta có $$z^n = 4 z^{n-1} - z^{n-2} - 6 z^{n-3}.$$
Trường hợp $z = 0$, chúng ta sẽ có dãy số $f_n = 0$.
Trường hợp $z \neq 0$, chúng ta chia hai vế của phương trình trên cho $z^{n-3}$ sẽ được $$z^3 = 4 z^2 - z - 6.$$
Giải phương trình bậc ba $$x^3 - 4 x^2 + x + 6 =0$$ chúng ta tìm được ba nghiệm $x = -1$, $x = 2$ và $x=3$.
Vậy $z=-1$, $z = 2$ hoặc $z = 3$.
Tóm lại, có bốn dãy số có dạng $f_n = z^n$ thõa mãn phương trình $f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}$, đó là $f_n = 0$, $f_n = (-1)^n$, $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$.
Bài toán 3: Tìm tất cả các dãy số có dạng $f_n = z^n$ thoã mãn $f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}$.
Lời giải: Thay $f_n = z^n$ vào phương trình $f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}$ chúng ta có $$z^n = 4 z^{n-1} - z^{n-2} - 6 z^{n-3}.$$
Trường hợp $z = 0$, chúng ta sẽ có dãy số $f_n = 0$.
Trường hợp $z \neq 0$, chúng ta chia hai vế của phương trình trên cho $z^{n-3}$ sẽ được $$z^3 = 4 z^2 - z - 6.$$
Giải phương trình bậc ba $$x^3 - 4 x^2 + x + 6 =0$$ chúng ta tìm được ba nghiệm $x = -1$, $x = 2$ và $x=3$.
Vậy $z=-1$, $z = 2$ hoặc $z = 3$.
Tóm lại, có bốn dãy số có dạng $f_n = z^n$ thõa mãn phương trình $f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}$, đó là $f_n = 0$, $f_n = (-1)^n$, $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$.
Tương tự như trên, bằng cách lấy tổng tuyến tính, chúng ta sẽ tạo ra vô số các dãy số thõa mãn phương trình sai phân $f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}$.
Với ba số $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ bất kỳ, dãy số xác định bởi công thức $$f_n = \alpha ~ (-1)^n + \beta ~ 2^n + \gamma ~ 3^n$$ thõa mãn phương trình sai phân $$f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}.$$
Bài toán 4: Xác định giá trị của ba hằng số $\alpha$, $\beta$, và $\gamma$ sao cho dãy số $f_n = \alpha ~ (-1)^n + \beta ~ 2^n + \gamma ~ 3^n$ thõa mãn điều kiện $$f_0 = 2, ~f_1 =-1, ~f_2 = 7, ~f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3}.$$
Lời giải: Lần lượt thay $n=0,1,2$, chúng ta có
$$f_0 = \alpha + \beta + \gamma = 2,$$ $$f_1 = - \alpha + 2 ~\beta + 3 ~\gamma = -1,$$ $$f_2 = \alpha + 4 ~\beta + 9 ~\gamma = 7.$$
Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = 2$, $\beta = -1$ và $\gamma = 1$. Từ đó chúng ta có $$f_n = 2 (-1)^n - 2^n + 3^n.$$
Đọc đến đây có lẽ các bạn đã phát hiện ra phương pháp giải một phương trình sai phân bất kỳ rồi phải không?
Các bạn để ý thấy khi chúng ta giải phương trình sai phân bậc hai $$f_{n} = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2},$$ chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc hai $$x^2 = 2 x + 3,$$ và khi chúng ta giải phương trình sai phân bậc ba $$f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3},$$ chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc ba $$x^3 = 4 x^2 - x -6.$$
Như vậy, một cách tổng quát, nếu chúng ta cần giải phương trình sai phân bậc $k$ $$a_k f_{n} + a_{k-1} f_{n-1} + a_{k-2} f_{n-2} + \dots + a_0 f_{n-k}=0$$ thì chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc $k$ $$a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0=0.$$ Phương trình này gọi là phương trình đặc trưng cho phương trình sai phân ở trên.
Đọc đến đây có lẽ các bạn đã phát hiện ra phương pháp giải một phương trình sai phân bất kỳ rồi phải không?
Các bạn để ý thấy khi chúng ta giải phương trình sai phân bậc hai $$f_{n} = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2},$$ chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc hai $$x^2 = 2 x + 3,$$ và khi chúng ta giải phương trình sai phân bậc ba $$f_n = 4 f_{n-1} - f_{n-2} - 6 f_{n-3},$$ chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc ba $$x^3 = 4 x^2 - x -6.$$
Như vậy, một cách tổng quát, nếu chúng ta cần giải phương trình sai phân bậc $k$ $$a_k f_{n} + a_{k-1} f_{n-1} + a_{k-2} f_{n-2} + \dots + a_0 f_{n-k}=0$$ thì chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc $k$ $$a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0=0.$$ Phương trình này gọi là phương trình đặc trưng cho phương trình sai phân ở trên.
Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính tổng quát
Giả sử chúng ta cần tìm công thức cho dãy số $\{f_n\}$ thõa mãn phương trình sai phân $$a_k f_{n} + a_{k-1} f_{n-1} + a_{k-2} f_{n-2} + \dots + a_0 f_{n-k}=0$$ với điều kiện ban đầu là những giá trị của $f_0, f_1, \dots, f_{k-1}$, chúng ta sẽ giải bằng hai bước sau đây.
Bước 1. Giải phương trình sai phân.
Tạo phương trình đặc trưng $$a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0=0$$ và tìm nghiệm của nó.
Giả sử phương trình đặc trưng có $k$ nghiệm $x_1, \dots, x_k$. Vậy thì với mọi hằng số $\alpha_1, \dots, \alpha_k$, dãy số $$f_n = \alpha_1 ~ x_1^n + \dots + \alpha_k ~ x_k^n$$ thõa mãn phương trình sai phân $$a_k f_{n} + a_{k-1} f_{n-1} + a_{k-2} f_{n-2} + \dots + a_0 f_{n-k}=0.$$
Bước 2. Giải quyết các điều kiện ban đầu.
Thay các giá trị của $f_0, f_1, \dots, f_{k-1}$ vào đẳng thức $$f_n = \alpha_1 ~ x_1^n + \dots + \alpha_k ~ x_k^n$$ để lập một hệ phương trình cho $\alpha_1, \dots, \alpha_k$.
Từ đó giải hệ phương trình và tìm ra các giá trị của $\alpha_1, \dots, \alpha_k$.
Bây giờ chúng ta làm thử một ví dụ.
Bài toán 5: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0 = 0, ~f_1 =1, ~f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$
Lời giải: Phương trình đặc trưng cho phương trình sai phân $f_n - 5 f_{n-1} + 6 f_{n-2}=0$ là $$x^2 - 5 x + 6 = 0.$$ Giải phương trình này chúng ta có hai nghiệm $x_1 = 2$ và $x_2=3$. Vậy $$f_n = \alpha_1 2^n + \alpha_2 3^n.$$ Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0 = \alpha_1 + \alpha_2 = 0,$$ $$f_1 = 2 \alpha_1 + 3 \alpha_2 = 1.$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha_1 = -1$ và $\alpha_2 = 1$. Từ đó chúng ta có $$f_n = 3^n - 2^n.$$
Các bạn hãy rèn luyện kỹ năng bằng cách giải các bài tập về nhà. Các bạn sẽ thấy rằng phương pháp trên sẽ rất hữu hiệu nếu phương trình đặc trưng $$a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0=0$$ có $k$ nghiệm khác nhau $x_1, \dots, x_k$.
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép thì phương pháp trên sẽ không dùng được nữa (xem ví dụ ở bài tập số 11 phần bài tập về nhà). Chúng ta sẽ học về trường hợp này vào các kỳ sau.
Chúng ta tạm dừng ở đây, hẹn gặp lại các bạn.
Bài tập về nhà.
1. Phương trình đặc trưng cho phương trình sai phân $f_n = 2 f_{n-1}$ là gì?
Tìm công thức tổng quát cho dãy số $f_0 = 3, ~f_n = 2 f_{n-1}.$
2. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0 = 8, ~f_1 =2, ~f_n = 2 f_{n-1} + 8 f_{n-2}.$$
3. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0 = 5, ~f_1 =20, ~f_n = 2 f_{n-1} + 8 f_{n-2}.$$
4. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0 = 1, ~f_1 =-2, ~f_n = 2 f_{n-1} + 8 f_{n-2}.$$
5. Tìm công thức tổng quát cho dãy số Fibonacci $$f_0 = 0, ~f_1 =1, ~f_n = f_{n-1} + f_{n-2}.$$
6. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0 = 1, ~f_1 =2, ~f_n = 2 f_{n-1} + 5 f_{n-2}.$$
7. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0 = 4, ~f_1 =4, ~f_2 = 38, ~f_n = f_{n-1} + 14 f_{n-2} - 24 f_{n-3}.$$
8. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0 = 2, ~f_1 =3, ~f_2 = 17, ~f_n = f_{n-1} + 14 f_{n-2} - 24 f_{n-3}.$$
9. Phương trình đặc trưng cho phương trình sai phân $f_n = 13 f_{n-2} + 12 f_{n-3}$ là gì?
Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0 = 8, ~f_1 =13, ~f_2 = 99, ~f_n = 13 f_{n-2} + 12 f_{n-3}.$$
10. Tìm công thức truy hồi cho dãy số $f_n = 5 \times 3^n - 4^n$.
11. Dùng phương pháp trên các bạn có tìm ra được công thức tổng quát cho dãy số sau hay không? $$f_0 = 3, ~f_1 = 2, ~f_n = 4 f_{n-1} - 4 f_{n-2}.$$
Đáp số.
1. Phương trình đặc trưng là $x - 2 = 0$.
2. $f_n = 5 \times (-2)^n + 3 \times 4^n$
3. $f_n = 5 \times 4^n$
4. $f_n = (-2)^n$
5. dãy số Fibonacci
6. $f_n = \frac{1}{2 \sqrt{6}} [(1+\sqrt{6})^{n+1} - (1-\sqrt{6})^{n+1}]$
7. $f_n = (-4)^n + 2^n + 2 \times 3^n$
8. $f_n = (-1)^n + 4^n$
9. Phương trình đặc trưng là $x^3 - 13 x - 12=0$.
$f_n = 2 \times (-3)^n + (-1)^n + 5 \times 4^n$
10. $f_0= 4, ~f_1 = 11, ~f_n = 7 f_{n-1} - 12 f_{n-2}$.
11. Bước thứ 2 không thực hiện được.