Hôm nay chúng ta tiếp tục học về phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính để tìm công thức tổng quát cho dãy số. Chúng ta sẽ xem xét trường hợp mà phương trình đặc trưng có nghiệm số phức. Với trường hợp này, chúng ta có hai cách giải. Cách giải thứ nhất giống như trường hợp mà chúng ta đã học ở các bài trước. Còn cách giải thứ nhì thì chúng ta biểu diễn nghiệm số phức dưới dạng lượng giác và chúng ta sẽ có một công thức lượng giác cho dãy số.
Giả sử chúng ta có dãy số thực $\{f_n\}$ thõa mãn phương trình sai phân tuyến tính sau đây $$a_k ~f_n + a_{k−1} ~f_{n−1} + a_{k−2} ~f_{n−2}+ \dots + a_0 ~f_{n−k}=0.$$
Ở đây, các hệ số $a_0, a_1, \dots, a_k$ là các số thực, tuy nhiên phương trình đặc trưng $$a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=0$$ lại có nghiệm phức. Chúng ta sẽ phân loại nghiệm này ra làm hai loại:
- Loại nghiệm thực: giả sử phương trình đặc trưng có $t$ nghiệm thực $x_1$, $x_2$, ..., $x_t$, trong đó $x_1$ là nghiệm bội bậc $u_1$, $x_2$ là nghiệm bội bậc $u_2$, v.v...
- Loại nghiệm phức: giả sử phương trình đặc trưng có $s$ bộ nghiệm phức $z_1$, $\overline{z_1}$, $z_2$, $\overline{z_2}$, ..., $z_s$, $\overline{z_s}$, trong đó $z_1$, $\overline{z_1}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_1$, $z_2$, $\overline{z_2}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_2$, v.v...
Theo phương pháp mà chúng ta đã học ở các bài trước thì chúng ta có thể chứng minh được công thức cho dãy số là như sau $$f_n = p_1(n) ~x_1^{n} + \dots + p_t(n) ~x_t^{n} + q_1(n) ~z_1^{n} + \overline{q_1}(n) ~\overline{z_1}^{n} + \dots + q_s(n) ~z_s^{n} + \overline{q_s}(n) ~\overline{z_s}^{n},$$ trong đó
- $p_1(n)$, ..., $p_t(n)$ là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua $u_1$, ..., $u_t$; còn
- $q_1(n)$, ..., $q_s(n)$ là các đa thức có hệ số phức và có bậc lần lượt bé thua $v_1$, ..., $v_s$.
Chúng ta xem xét một vài ví dụ.
Bài toán 1: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=2, ~f_1=12, ~f_n= 3 f_{n−1} − 9 f_{n−2}.$$
Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n= 3 f_{n−1} − 9 f_{n−2}$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 − 3x + 9 =0.$$
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có $$\Delta = 3^2 - 4 \times 9 = - 27 < 0,$$ $$\pm ~\sqrt{\Delta} = \pm ~ 3 \sqrt{3} ~i,$$
vậy phương trình có một bộ nghiệm phức $$z_1 = \frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}, ~~~\overline{z_1} = \frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}.$$
Chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = \alpha ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + \overline{\alpha} ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n.$$
Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0= \alpha + \overline{\alpha} = 2,$$ $$f_1= \alpha ~ \frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2} + \overline{\alpha} ~ \frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2} = 12.$$
Từ phương trình thứ nhì, chúng ta có $$f_1= \frac{3}{2} (\alpha + \overline{\alpha}) + \frac{3 \sqrt{3} i}{2} (\alpha - \overline{\alpha}) = 12.$$
Suy ra $$\alpha - \overline{\alpha} = -2 \sqrt{3} ~i.$$
Do đó $$\alpha = 1 - \sqrt{3} ~i, ~~~ \overline{\alpha} = 1 + \sqrt{3} ~i.$$
Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số $$f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n.$$
Chúng ta biết rằng với một công thức liên quan đến luỹ thừa của số phức thì công thức lượng giác sẽ rất tiện dụng bởi vì chúng ta sẽ sử dụng được công thức Moivre.
Chúng ta sẽ biểu diễn bộ nghiệm phức $$\frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2}$$ về dạng lượng giác.
Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| \frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2} \right| = \sqrt{ \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 } = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{27}{4} } = \sqrt{9} = 3.$$
Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2} = 3 ~\left( \frac{1}{2} \pm i ~\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 3 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}).$$
Dùng công thức Moivre chúng ta sẽ tính được
$$f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n$$ $$= (1 - \sqrt{3} ~i) ~3^n ~ (\cos{\frac{\pi}{3}} + i ~ \sin{\frac{\pi}{3}})^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ 3^n ~ (\cos{\frac{\pi}{3}} - i ~ \sin{\frac{\pi}{3}})^n $$ $$= 3^n (1 - \sqrt{3} ~i) (\cos{\frac{n \pi}{3}} + i ~ \sin{\frac{n \pi}{3}}) + 3^n (1 + \sqrt{3} ~i) (\cos{\frac{n \pi}{3}} - i ~ \sin{\frac{n \pi}{3}})$$ $$= 3^n (2 \cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} \sin{\frac{n \pi}{3}}).$$
Vậy chúng ta đã tìm ra được hai công thức tổng quát cho dãy số
$$f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n$$ $$= 3^n ~ \left(2 ~\cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{3}} \right).$$
Phương pháp tìm công thức tổng quát cho dãy số ở dạng lượng giác
Giả sử chúng ta cần tìm công thức tổng quát cho dãy số thực $\{f_n\}$ thõa mãn phương trình sai phân tuyến tính $$a_k ~f_n + a_{k−1} ~f_{n−1} + a_{k−2} ~f_{n−2}+ \dots + a_0 ~f_{n−k}=0.$$
Các hệ số $a_0, a_1, \dots, a_k$ là các số thực và phương trình đặc trưng $$a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=0$$ có nghiệm phức. Chúng ta sẽ phân loại nghiệm này ra làm hai loại:
- Loại nghiệm thực: giả sử phương trình đặc trưng có $t$ nghiệm thực $x_1$, $x_2$, ..., $x_t$, trong đó $x_1$ là nghiệm bội bậc $u_1$, $x_2$ là nghiệm bội bậc $u_2$, v.v...
- Loại nghiệm phức: giả sử phương trình đặc trưng có $s$ bộ nghiệm phức $z_1$, $\overline{z_1}$, $z_2$, $\overline{z_2}$, ..., $z_s$, $\overline{z_s}$, trong đó $z_1$, $\overline{z_1}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_1$, $z_2$, $\overline{z_2}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_2$, v.v...
Chúng ta viết các nghiệm phức này về dạng lượng giác như sau $$z_1, \overline{z_1} = r_1 (\cos{\phi_1} \pm i ~ \sin{\phi_1}); ~\dots; ~z_s, \overline{z_s} = r_s (\cos{\phi_s} \pm i ~ \sin{\phi_s}).$$
- $p_1(n)$, ..., $p_t(n)$ là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua $u_1$, ..., $u_t$; còn
- $g_1(n)$, $h_1(n)$, ..., $g_s(n)$, $h_s(n)$ là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua $v_1$, ..., $v_s$.
Ở bài toán dưới đây, chúng ta chỉ tìm công thức dạng lượng giác cho dãy số.
Bài toán 2: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=5, ~f_1=12, ~f_n= 6 f_{n−1} − 12 f_{n−2}.$$
Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n= 6 f_{n−1} − 12 f_{n−2}$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 − 6x + 12 =0.$$
Giải phương trình bậc hai này chúng ta có một bộ nghiệm phức $3 \pm i~ \sqrt{3}$.
Chúng ta sẽ biểu diễn bộ nghiệm phức $3 \pm i~ \sqrt{3}$ về dạng lượng giác.
Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| 3 \pm i~ \sqrt{3} \right| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}.$$
Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$3 \pm i~ \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} ~\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~\frac{1}{2} \right) = 2 \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).$$
Chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = (2 \sqrt{3})^n ~ (\alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{6}} ).$$
Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0= \alpha = 5,$$ $$f_1= 2 \sqrt{3} (\alpha ~\frac{\sqrt{3}}{2} + \beta ~\frac{1}{2}) = 12.$$
Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = 5$ và $\beta = - \sqrt{3}$.
Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số $$f_n = (2 \sqrt{3})^n ~ (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}} ).$$
Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau chúng ta sẽ giải thêm nhiều ví dụ về trường hợp số phức này. Xin hẹn gặp lại các bạn.
Bài tập về nhà.
1. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=1, ~f_1=4, ~f_n= 2 f_{n−1} − 4 f_{n−2}.$$
2. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=2, ~f_1=4, ~f_n = f_{n−1} − f_{n−2}.$$
3. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=5, ~f_1=6, ~f_n = 3 f_{n−1} − 3 f_{n−2}.$$
4. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=2, ~f_1=1, ~f_2=10, ~f_n= 4 f_{n−1} − 24 f_{n−3}.$$
5. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{4}} + 3 ~ \sin{\frac{n \pi}{4}}) (\sqrt{2})^n .$$
6. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = \cos{\frac{n \pi}{4}} + \sin{\frac{n \pi}{4}}.$$
7. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = 2n + 1 + (3 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n.$$
8. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = (2n \cos{\frac{n \pi}{3}} - 2 \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 3^n.$$
Đáp số.
1. $f_n = (\cos{\frac{n \pi}{3}} + \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 2^n.$
2. $f_n = 2 ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} .$
3. $f_n = (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n .$
4. $f_n = (-2)^n + (2 \sqrt{3})^n ~ \cos{\frac{n \pi}{6}}.$
5. $f_0 = 5, ~~f_1 = 8, ~~f_n = 2 f_{n-1} - 2 f_{n-2}.$
6. $f_0 = 1, ~~f_1 = \sqrt{2}, ~~f_n = \sqrt{2} f_{n-1} - f_{n-2}.$
7. $f_0 = 4, ~~f_1 = 6, ~~f_2 = 5, ~~f_3 = -2, ~~f_n= 5 f_{n−1} − 10 f_{n−2} + 9 f_{n-3} - 3 f_{n-4}.$
8. $f_0 = 0, ~~f_1 = -6, ~~f_2 = -45, ~~f_3 = -162, ~~f_n= 6 f_{n−1} − 27 f_{n−2} + 54 f_{n-3} - 81 f_{n-4}.$