Chuỗi Taylor



Kỳ trước nhân dịp ngày số $\pi$, chúng ta được giới thiệu một hằng đẳng thức rất đẹp của Euler
$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$$

Nhà toán học Euler có một phương pháp rất độc đáo để thiết lập công thức này. Phương pháp của Euler sử dụng phép khai triển Taylor, và vì vậy, hôm nay chúng ta sẽ làm quen với chuỗi Taylor, rồi kỳ sau chúng ta sẽ học về cách chứng minh của Euler.




Ví dụ về đa thức bậc 2

Trước khi đi vào tìm hiểu chuỗi Taylor, các bạn thử tìm câu trả lời cho một câu đố nhỏ sau đây:
Cho đa thức bậc 2, $$p(x) = a x^2 + b x + c$$Tìm một công thức cho hệ số $c$ dựa vào hàm số $p$.






Các bạn đã tìm ra câu trả lời chưa?

Công thức cho hệ số $c$ là: $$c = p(0)$$


Câu đố tiếp theo là như sau

Cho đa thức bậc 2, $$p(x) = a x^2 + b x + c$$
Tìm một công thức cho hệ số $b$ dựa vào hàm số $p$.
(Gợi ý: lấy đạo hàm của $p$.)




Lấy đạo hàm của $p$ chúng ta có $$p'(x) = 2 a x + b$$
Vậy $$b = p'(0)$$

Đến đây chắc các bạn đã đoán ra công thức cho hệ số $a$ rồi phải không?!

Lấy đạo hàm một lần nữa chúng ta có $$p''(x) = 2a$$
Vậy chúng ta có $$c = p(0), ~~ b = p'(0), ~~ a = \frac{1}{2} p''(0).$$

Thay các hệ số này vào công thức bậc 2, chúng ta có $$p(x) = a x^2 + bx + c=\frac{1}{2} p''(0) x^2 + p'(0) x + p(0)$$




Ví dụ về đa thức bậc 5

Bây giờ, giả sử chúng ta có đa thức bậc 5 như sau: $$p(x) = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$

Làm tương tự như trên chúng ta dễ dàng tìm ra công thức cho các hệ số $a_i$.

Đầu tiên chúng ta có $$a_0 = p(0)$$

Lấy đạo hàm bậc 1 chúng ta có $$p'(x) = 5 a_5 x^4 + 4 a_4 x^3 + 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1$$

Vậy $$a_1 = p'(0)$$

Lấy đạo hàm bậc 2 chúng ta có $$p''(x) = 5 \times 4 \, a_5 x^3 + 4 \times 3 \, a_4 x^2 + 3 \times 2 \, a_3 x + 2 a_2$$

Vậy $$a_2 = \frac{p''(0)}{2}$$

Lấy đạo hàm bậc 3 chúng ta có $$p'''(x) = 5 \times 4 \times 3 \, a_5 x^2 + 4 \times 3 \times 2 \, a_4 x + 3 \times 2 \times 1 \, a_3$$

Vậy $$a_3 = \frac{p'''(0)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{p'''(0)}{3!}$$

(Ký hiệu $n!$ đọc là $n$ giai thừa, $n!= 1 \times 2 \times \dots \times (n-1) \times n$)

Lấy đạo hàm bậc 4 chúng ta có $$p''''(x) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \, a_5 x + 4 \times 3 \times 2 \times 1 \, a_4$$

Vậy $$a_4 = \frac{p''''(0)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{p^{(4)}(0)}{4!}$$

(Để cho gọn, chúng ta sẽ dùng ký hiệu $p^{(n)}(x)$ để chỉ đạo hàm bậc $n$ của $p(x)$)

Cuối cùng, lấy đạo hàm bậc 5 chúng ta có $$p^{(5)}(x) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \, a_5$$

Và $$a_5 = \frac{p^{(5)}(0)}{5!}$$

Chúng ta thấy công thức tổng quát là $$a_n = \frac{p^{(n)}(0)}{n!}$$
vậy, $$p(x) = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$ $$= \frac{p^{(5)}(0)}{5!} x^5 + \frac{p^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \frac{p^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{p''(0)}{2!} x^2 + p'(0) x + p(0)$$ $$= p(0) + p'(0) x + \frac{p''(0)}{2!} x^2 + \frac{p^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{p^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \frac{p^{(5)}(0)}{5!} x^5$$




Chuỗi Taylor

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để học về phép khai triển chuỗi Taylor.

Khai triển chuỗi Taylor của một hàm số $f(x)$ là như sau:$$f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \dots$$


Nếu sau này các bạn nhỡ quên về công thức này thì các bạn có thể dùng ví dụ về đa thức bậc 2, bậc 3,... để nhớ lại.



Bây giờ chúng ta sẽ tìm chuỗi Taylor cho hàm số $e^x$.



Hàm số mũ tự nhiên $e^x$


Trong toán học có hai hằng số quan trọng nhất, đó là số $\pi \approx 3.14$ và hằng số Euler $e \approx 2.72$.
Chúng ta có $$\lim_{n \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} = e$$

Hàm số mũ tự nhiên $f(x) = e^x$ là một hàm số rất đặc biệt vì hàm số này có đạo hàm bằng chính nó. Do đó, nếu chúng ta lấy đạo hàm bao nhiêu lần đi nữa thì kết quả vẫn là $e^x$: $$f(x) = f'(x) = f''(x) = f^{(3)}(x) = f^{(4)}(x) = f^{(5)}(x) = \dots = e^x$$

Vì vậy $$f(0) = f'(0) = f''(0) = f^{(3)}(0) = f^{(4)}(0) = f^{(5)}(0) = \dots = e^0 = 1$$

Khai triển chuỗi Taylor của hàm số $f(x) = e^x$ là như sau: $$f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \dots$$ $$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{4!} x^4 + \dots + \frac{1}{n!} x^n + \dots$$

$$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$$

Thay $x = \pm 1$ chúng ta có hai hằng đẳng thức sau đây: $$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \dots $$ $$\frac{1}{e} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots $$



Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta sẽ dùng công thức chuỗi Taylor để chứng minh hằng đẳng thức Euler
$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$$
Hẹn gặp lại các bạn.




Bài tập về nhà.

1. Dùng khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $g(x)$ $$g(x) = g(0) + g'(0) x + \frac{g''(0)}{2!} x^2 + \frac{g^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{g^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \dots + \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n + \dots$$
Sau đó đặt $f(x+a) = g(x)$, chứng minh rằng $$f(x+a) = f(a) + f'(a) x + \frac{f''(a)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!} x^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} x^n + \dots$$
Từ đó suy ra
$$f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} (x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!} (x-a)^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \dots$$
Công thức này gọi là khai triển chuỗi Taylor tại điểm $x =a$.


2. Chứng minh rằng công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $\sin(x)$ là như sau: $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \dots$$

3. Chứng minh rằng công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $\cos(x)$ là như sau: $$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \dots$$

4. Tìm công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $f(x) = \log_{e}(1 + x)$.

5. Tìm công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $f(x) = \sqrt{x + 1}$.

6. Dùng google.com để tìm hiểu về hằng số Euler $e$ và ứng dụng của nó trong việc tính lãi suất ngân hàng.




2 nhận xét: