Bàn cờ vua và kim tự tháp


Bạn đã nghe qua câu chuyện huyền thoại về bàn cờ vua chưa? Câu chuyện kể rằng ngày xưa có một nhà thông thái giới thiệu cho một vị vua nọ trò chơi cờ vua. Nhà vua thấy trò chơi này rất là thú vị nên muốn tặng cho nhà thông thái một phần thưởng. Nhà vua nói rằng ông muốn chọn gì thì chọn. Trước sự ngạc nhiên của nhà vua, nhà thông thái nọ chỉ tay vào bàn cờ và xin nhà vua 1 hạt gạo cho ô vuông đầu tiên, 2 hạt gạo cho ô cờ thứ hai, 4 hạt gạo cho ô cờ thứ ba, 8 hạt gạo cho ô cờ thứ tư, và cứ thế, với mỗi ô cờ tiếp theo, nhà thông thái xin nhà vua số hạt gạo gấp đôi số hạt gạo ở ô cờ trước. Câu chuyện kết thúc với một kết cục khá là ngạc nhiên, đó là nhà vua đã không có đủ số gạo để thưởng cho nhà thông thái.

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tính toán xem, nếu chúng ta xếp số gạo mà nhà thông thái yêu cầu thành hình kim tự tháp thì chúng ta sẽ được bao nhiêu kim tự tháp.




Bước 1. Tìm tổng số hạt gạo

Chúng ta thấy bàn cờ vua có $8 \times 8 = 64$ ô vuông và nhà thông thái đã xin nhà vua như sau:
  • Ô vuông 1: số hạt gạo $=1$
  • Ô vuông 2: số hạt gạo $=2$
  • Ô vuông 3: số hạt gạo $= 4=2^2$
  • Ô vuông 4: số hạt gạo $= 8=2^3$
  • Ô vuông 5: số hạt gạo $=16=2^4$
  • Ô vuông $n$: số hạt gạo $=2^{n-1}$
  • Ô vuông 63: số hạt gạo $=2^{62}$
  • Ô vuông 64: số hạt gạo $=2^{63}$

Vậy tổng số hạt gạo bằng $$S = 1 + 2 + 4 + 8 + 2^4 + \dots + 2^{62} + 2^{63}$$

Chúng ta có thể rút gọn công thức $S$ như sau.

Nhân hai vế của công thức $S$ với 2, chúng ta có $$2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 2^5 + \dots + 2^{63} + 2^{64}$$
Trừ vế theo vế với đẳng thức ban đầu $$S = 1 + 2 + 4 + 8 + 2^4 + \dots + 2^{62} + 2^{63}$$ chúng ta có $$S = 2^{64} - 1$$


Bước 2. Ước lượng tổng thể tích của toàn bộ các hạt gạo

Ở trên, chúng ta đã tính được tổng số hạt gạo bằng $S = 2^{64} - 1$. Để cho đơn giản, chúng ta tặng thêm cho nhà thông thái 1 hạt gạo để $S = 2^{64}$. Chúng ta giả sử rằng mỗi hạt gạo có thể tích bằng 2 mili mét khối. Vậy tổng thể tích toàn bộ các hạt gạo bằng $V = 2^{65}$ mili mét khối.

Làm sao để chúng ta ước lượng số $2^{65}$?

Trong khoa học điện toán, chúng ta nói rằng
  • 1 kilo byte = $2^{10}$ byte $\approx$ 1000 byte,
  • 1 mega byte = $2^{10}$ kilo byte $\approx$ 1000 kilo byte,
  • 1 giga byte = $2^{10}$ mega byte $\approx$ 1000 mega byte,
  • 1 tera byte = $2^{10}$ giga byte $\approx$ 1000 giga byte.

Chúng ta đã làm phép xấp xỉ $$2^{10} = 1024 >\approx 1000$$
Vậy chúng ta sẽ dùng xấp xỉ $2^{10} \approx 1000$ để ước lượng tổng thể tích các hạt gạo $V = 2^{65}$ (mili mét khối): $$V = 2^{65} = 2^{5} \times 2^{60} = 32 \times 2^{60} >\approx 32 \times 1000^{6}$$
Vậy $V \approx 32 \times 1000^{6}$ mili mét khối $=32 \times 1000^{3}$ mét khối.


Chúng ta đã ước lượng được thể tích của toàn bộ các hạt gạo là
$V\approx$ 32 tỷ mét khối!




Bước 3. Ước lượng thể tích của kim tự tháp


hình trên chúng ta thấy các kim tự tháp Giza ở vùng ngoại ô thành phố Cairo - thủ đô Ai Cập. Những kim tự tháp này là mộ của các vị vua pha-ra-ông của Ai Cập. Theo thứ tự, cái cuối cùng đàng sau là kim tự tháp lớn nhất, cao 147 mét, là mộ của pha-ra-ông Khufu được xây đầu tiên, 2550 năm trước ngày Chúa giáng sinh. Kim tự tháp chính giữa, cao 144 mét, là mộ của pha-ra-ông Khafre, 2520 BC. Phía trước là kim tự tháp nhỏ nhất và được xây sau cùng, cao 65 mét, là mộ của pha-ra-ông Menkaure, xây vào năm 2490 trước ngày Chúa giáng sinh.

Kim tự tháp có đáy là hình vuông, xây theo hình chóp. Để tính thể tích kim tự tháp chúng ta dùng công thức $$V = \frac{1}{3} a^2 h$$ trong đó ký hiệu $V$ là thể tích, $h$ là chiều cao, $a$ là độ dài cạnh đáy hình vuông.

Theo công thức tính thể tích, chúng ta có:
chiều cao h cạnh đáy a thể tích V
Kim tự tháp Khufu 147 mét 230 mét 2,592,100 mét khối
Kim tự tháp Khafre 144 mét 215 mét 2,218,800 mét khối
Kim tự tháp Menkaure 65 mét 105 mét 238,875 mét khối

Vậy, kim tự tháp Khufu là lớn nhất và có thể tích xấp xỉ 2.6 triệu mét khối.



Bước 4. Tìm số lượng các kim tự tháp xây bằng gạo

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để trả lời câu hỏi ở đầu bài. Chúng ta đã tính ước lượng được số gạo mà nhà thông thái yêu cầu là 32 tỷ mét khối. Nếu chúng ta xếp đống gạo này theo hình kim tự tháp lớn nhất có thể tích cỡ 2.6 triệu mét khối thì chúng ta sẽ xây được số kim tự tháp là $$\frac{32 \times 1000^3}{2.6 \times 1000^2} > \approx 12000$$
Tóm lại phần thưởng mà nhà thông thái yêu cầu nhà vua là nhiều hơn 12 ngàn đống gạo hình kim tự tháp. Thảo nào nhà vua đã không có đủ gạo để thưởng cho nhà thông thái !


Chúng ta tạm dừng ở đây. Các hình ảnh về kim tự tháp Giza ở trên được lấy từ Google Maps. Hình vẽ bàn cờ vua ở đầu bài được lấy từ bộ phim "Inspirations" của Cristóbal Vila, mời các bạn xem phim ở đây:




Bài tập về nhà.


1. Vào google.com để tìm hiểu xem diện tích của bề mặt mặt trăng là bao nhiêu. Liệu số gạo mà nhà thông thái yêu cầu có thể dùng để phủ kín toàn bộ bề mặt của mặt trăng được không?

2. Rút gọn biểu thức $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + + \frac{1}{8} + \dots + + \frac{1}{2^{64}}$$

3. Rút gọn biểu thức $$1 + 3 + 9 + 27 + \dots + 3^{64}$$



1 nhận xét: