Quy nạp II

Hôm nay chúng ta tiếp tục giải tiếp một số bài toán bằng phương pháp quy nạp.

Bài toán 4. Chứng minh rằng $$1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + \dots + n (n+1)(n+2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3).$$

Quy nạp

Hôm nay chúng ta sẽ học về phép quy nạp toán học. Thông thường, chúng ta sẽ dùng quy nạp để chứng minh một phát biểu nào đó đúng với mọi số tự nhiên.

Để tiện cho việc diễn đạt, chúng ta sẽ gọi $P(n)$ là một phát biểu nào đó liên quan đến biến số tự nhiên $n$. Chứng minh bằng quy nạp sẽ gồm các bước sau.

Bước 1: gọi là bước khởi điểm. Chúng ta sẽ chứng minh $P(n)$ đúng cho trường hợp đầu tiên là $n=0$.

Bước 2: gọi là bước quy nạp. Bước này là bước quan trọng nhất. Ở bước này, 

• chúng ta giả sử rằng $P(n)$ đúng cho các trường hợp $0 \leq n \leq k$, 
• với giả thiết đó, chúng ta sẽ chứng minh $P(n)$ cũng đúng với trường hợp $n=k+1$. 

Từ hai bước này, theo nguyên lý quy nạp toán học, chúng ta sẽ kết luận rằng $P(n)$ sẽ đúng với mọi số tự nhiên $n$.

Tam giác Pascal

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau học về một cấu trúc số nổi tiếng, đó là tam giác số Pascal.

tam giác số Pascal

Bộ số Pitago

Trong hình học có một định lý rất quen thuộc gọi là Định lý Pitago, nói rằng trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Định lý Pitago: $BC^2 = AB^2 + AC^2$

Vì vậy mà phương trình $$x^2 + y^2 = z^2$$ được gọi là phương trình Pitago và nghiệm $(x,y,z)$ của phương trình này được gọi là bộ số Pitago. Lẽ dĩ nhiên chúng ta chỉ quan tâm đến nghiệm số nguyên.

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải phương trình Pitago. Chúng ta sẽ chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm.

Định lý Wilson

Hôm nay xin giới thiệu với các bạn một định lý liên quan đến số nguyên tố, đó là Định lý Wilson. Định lý này nói rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì số $(p-1)! + 1$ sẽ chia hết cho $p$.

Ở đây, ký hiệu $n!$ có nghĩa là $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n.$$

Ví dụ,

• $1! + 1 = 2$ chia hết cho $2$
• $2! + 1 = 3$ chia hết cho $3$
• $4! + 1 = 25$ chia hết cho $5$
• $6! + 1 = 721$ chia hết cho $7$

Một vài bài toán về số nguyên tố

Kỳ trước, chúng ta đã học về số nguyên tố, và Định lý Euclid cho chúng ta biết rằng tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Kỳ này, chúng ta tiếp tục xem xét về số nguyên tố. Các nhà toán học nổi tiếng như Fermat, Euler, Gauss rất thích thú tìm hiểu về các số nguyên tố. Có nhiều bài toán về số nguyên tố, phát biểu thì rất đơn giản, nhưng đến nay vẫn chưa ai tìm ra được lời giải.

Định lý Euclid về số nguyên tố

Tiếp tục câu chuyện về số nguyên tố, hôm nay chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên tố. Đây chính là Định lý Euclid về số nguyên tố. Định lý này có một cách chứng minh rất là đơn giản, nhưng cách chứng minh này có lẽ là một trong những chứng minh hay nhất trong toán học.

Số nguyên tố

Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về số nguyên tố - những viên gạch cơ bản của số học.

Số nguyên tố là một số tự nhiên lớn hơn 1 mà không chia hết cho số nào cả, ngoại trừ nó chia hết cho 1 và chia hết cho chính nó. Ví dụ như 2, 3, 5, 7, 11, 13 là số nguyên tố. Số 9 không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 3. Số 2012 không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 2.

Điểm Fermat của hình tam giác II

Kỳ trước chúng ta đã tìm hiểu về bài toán hình học Fermat, đó là cho một tam giác $ABC$, tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất.

bài toán Fermat: tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất

Điểm Fermat của hình tam giác

Kỳ trước ở chuổi bài về modulo chúng ta đã tìm hiểu câu chuyện về nhà toán học Fermat với bài toán nổi tiếng $$x^n + y^n = z^n.$$

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét về một bài toán hình học mang tên ông. Như chúng ta đã biết, Fermat không phải là một nhà toán học chuyên nghiệp, mà là một luật sư. Ông làm toán cho vui, và những công trình của ông mà chúng ta biết được ngày hôm nay là nhờ căn cứ vào những thư từ trao đổi giữa ông và bạn bè, cũng như những ghi chép ngẫu nhiên của ông trên những trang sách mà ông đã đọc. Nổi tiếng nhất dĩ nhiên là bài toán $x^n + y^n = z^n$ cùng với lời chú thích "tôi đã tìm ra lời giải tuyệt đẹp nhưng lề sách không đủ chỗ để viết ra" mà ông đã ghi bên lề cuốn sách của Diophantus.

Bài toán hình học mà chúng ta sẽ xem xét hôm nay bắt nguồn từ một lá thư mà Fermat đã gởi cho nhà toán học người Ý, Torricelli. Trong thư ông Fermat đố ông Torricelli tìm ra một điểm mà có tổng khoảng cách đến ba đỉnh của một hình tam giác là bé nhất. Bài này thì ông Torricelli giải được, vì vậy mà bây giờ có người gọi điểm đó là điểm Fermat, có người thì gọi nó là điểm Torricelli.

bài toán Fermat: tìm điểm $M$ sao cho $MA + MB + MC$ là ngắn nhất

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét hai bài toán mà mới nhìn vào thì chúng ta thấy chúng có vẻ không liên quan gì đến nhau. Bài thứ nhất là một bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất còn bài thứ hai thì về tính chất của đường tiếp tuyến hình elip.

Trước hết chúng ta xem xét về hình elip. Hình elip là hình sau đây.

với mọi điểm $P$ trên hình elip thì $PF_1 + PF_2 = \ell$

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Tôi muốn chia xẻ với các bạn một kinh nghiệm mà tôi đã học được. Đó là khi đối diện với một bài toán mà chúng ta chưa biết phải làm như thế nào, thì việc đầu tiên chúng ta có thể làm là xem xét các trường hợp đặc biệt của bài toán. Xem xét các trường hợp đặc biệt giúp chúng ta dần dần hiểu rõ bài toán hơn. Để minh hoạ, chúng ta sẽ làm một vài bài toán.