Tam giác Pascal


Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau học về một cấu trúc số nổi tiếng, đó là tam giác số Pascal.
tam giác số Pascal




Tam giác số này được xây dựng như sau.
  • Ở hàng đầu tiên, chúng ta viết một con số 1.
  • Ở hàng tiếp theo, chúng ta viết hai con số 1.
  • Tiếp tục các hàng tiếp theo, 
    • con số đầu tiên và con số cuối cùng bao giờ cũng là 1;
    • còn mỗi con số ở bên trong thì bằng tổng của hai con số đứng ngay ở hàng phía trên.
Ví dụ như: $1 + 1 = 2$, $1 + 2 = 3$, $2 + 1 = 3$, $1 + 3 = 4$, $3 + 3 = 6$, $3 + 1 = 4$, v.v...
cách xây dựng tam giác Pascal: $4 + 6 = 10$


Chúng ta dùng tam giác số Pascal để khai triển các biểu thức $(x+y)^n$ và $(x-y)^n$ như hình sau đây.
dùng các hệ số trong tam giác Pascal để khai triển biểu thức $(x+y)^n$

dùng các hệ số trong tam giác Pascal để khai triển biểu thức $(x-y)^n$




Chúng ta đánh số mỗi hàng của tam giác Pascal theo thứ tự bắt đầu là hàng số 0, tiếp đến là hàng số 1, hàng số 2, v.v... Còn trên mỗi hàng, chúng ta sắp xếp thứ tự các con số bắt đầu là con số thứ 0, tiếp đến là con số thứ 1, rồi con số thứ 2, v.v...

Chúng ta sẽ gọi con số thứ $k$ ở hàng thứ $n$ là $p_{n,k}$. Từ đó suy ra công thức để xây dựng tam giác Pascal là $$p_{n-1,k-1} + p_{n-1,k} = p_{n,k}.$$

công thức xây dựng tam giác Pascal: $p_{n-1,k-1} + p_{n-1,k} = p_{n,k}$

Công thức tổng quát của $p_{n,k}$ là như sau
$$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$

Ví dụ,
$$p_{5,2} = {5 \choose 2} = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5}{1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 3} = 10.$$




Cuối cùng, xin lưu ý rằng, thông thường thì chúng ta hay đánh số thứ tự từ số 1. Nhưng với tam giác Pascal thì chúng ta đánh số thứ tự khởi đầu từ số 0. Cách đánh số khởi đầu bằng số 0 này hơi đặc biệt. Do đó để giúp các bạn ghi nhớ cách đánh số này, tôi xin kể cho các bạn một câu chuyện vui về nhà toán học Sierpinski.

Waclaw Sierpinski là một nhà toán học nổi tiếng người Ba Lan. Người ta kể lại rằng ông là người khá lơ đãng. Một hôm, ông và vợ ông phải chuyển nhà. Hai ông bà mang đồ đạc xuống để bên vệ đường rồi bà Sierpinski mới nói với chồng rằng "Bây giờ anh đứng đây coi chừng mười thùng đồ này cho em để em đi gọi taxi". Vài phút sau bà quay lại thì ông nheo mắt nói với bà "Anh tưởng em nói với anh coi chừng mười thùng đồ, nhưng sao anh đếm chỉ thấy có chín thùng." Bà vợ hốt hoảng tưởng là ông chồng mình lơ đãng để người ta trộm mất một thùng đồ, "Không, em chắc chắn là mười thùng mà!", "Không, em đếm lại đi, anh vừa đếm xong, đúng là chín thùng. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9!"


Sierpinski có viết một quyển sách rất hay về số học, đã được dịch ra tiếng Việt cách đây khá lâu, tôi không nhớ rõ tựa đề, hình như là "Tuyển tập các bài toán chọn lọc về số học". Nếu các bạn yêu thích số học thì nên tìm đọc quyển sách này.


Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.




Bài tập về nhà.

1. Dùng quy tắc xây dựng tam giác Pascal để giải thích vì sao tổng các số trên hàng $n$ của tam giác Pascal bằng $2^n$.

2. Chứng minh rằng số thứ $k$ trên dòng thứ $n$ của tam giác Pascal là $$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.$$

3. Chứng minh hằng đẳng thức 
$$(x+y)^n = x^n + {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + \dots + {n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + {n \choose 1} x  y^{n-1} + y^n$$






4 nhận xét: