Bài toán kết nối facebook

Hôm nay, xin kể với các bạn về "bài toán kết nối facebook"!

Bài toán này nói rằng nếu bạn chọn bất kỳ 6 người nào trên facebook, thì trong 6 người này, bạn có thể chọn ra được 3 người mà, hoặc là, cả 3 người này đều là friend của nhau, hoặc là, trong 3 người này không có ai là friend của ai cả.

Ví dụ, như hình dưới đây, ở phía bên trái chúng ta có 6 bạn: An, Bảo, Cường, Chi, Dũng và Đạt. Nếu như hai bạn là friend của nhau trên facebook thì chúng ta kết nối họ lại bằng một đường màu tím, còn nếu họ không là friend thì chúng ta nối lại bằng đường màu xanh.

Chúng ta thấy rằng trong 6 bạn này, chúng ta có thể chọn ra 3 bạn là An, Dũng và Chi, cả 3 bạn này đều là friend của nhau bởi vì họ được nối bởi các đường màu tím. Trường hợp 3 bạn Đạt, Bảo và Cường cũng vậy.

Còn trong ví dụ phía bên phải, chúng ta có 6 bạn: Kim, Lan, Mai, Nam, Nga và Nhi. Chúng ta có thể chọn ra được 3 bạn là Nga, Mai và Nam, trong 3 bạn này không có ai là friend của ai cả bởi vì các bạn này được nối bởi các đường màu xanh. Ba bạn Nhi, Nam và Mai cũng vậy.

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Kỳ trước chúng ta đã học cách tìm công thức tính tổng các luỹ thừa $$S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k.$$
Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các tính chất chia hết của $S_k(n)$. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_k(p-1) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + (p-1)^k = 0 \pmod{p}.$$

Đồng thời chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về $$S_{-k}(n) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{n^k}.$$

Có một định lý trong số học liên quan đến tính chia hết của $S_{-k}(n)$, đó là Định lý Wolstenholme.

Định lý Wolstenholme. Nếu $p$ là một số nguyên tố $>3$ thì $$S_{-1}(p-1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{p-1} ~=_{Q} ~0 \pmod{p^2} $$ và $$S_{-2}(p-1) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(p-1)^2} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$

Chúng ta sẽ chứng minh một tính chất tổng quát hơn, đó là nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_{-k}(p-1) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{(p-1)^k} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$

Tổng luỹ thừa

Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức tính tổng các luỹ thừa $$S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k .$$


Công cụ chính mà chúng ta sẽ dùng là nhị thức Newton sau đây $$(x+y)^k = x^k + {k \choose 1} x^{k-1} y + {k \choose 2} x^{k-2} y^2 + {k \choose 3} x^{k-3} y^3 + \dots + {k \choose {k-1}} x y^{k-1} + y^k.$$

Thuật toán Euclid

Kỳ trước chúng ta đã học về bổ đề Bezout. Hôm nay chúng ta sẽ học về thuật toán Euclid. Thuật toán này dùng để xác định các hệ số trong đẳng thức Bezout.

Trước hết chúng ta phát biểu bổ đề Bezout. 

Bổ đề Bezout. Nếu $d$ là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên $a$ và $b$ thì sẽ tồn tại hai số nguyên $x$ và $y$ sao cho $$d = a ~x + b ~y.$$

Thuật toán Euclid mục đích đi tìm ước số chung lớn nhất $d$ của hai số $a$ và $b$, và xác định hai giá trị của $x$ và $y$ trong đẳng thức Bezout $$d = a ~x + b ~y.$$

Ý tưởng của thuật toán Euclid rất đơn giản và tự nhiên.

Bổ đề Bezout

Hôm nay chúng ta sẽ học về một kết quả rất hay trong số học, đó là bổ đề Bezout. Bổ đề này phát biểu như sau.

Bổ đề Bezout. Nếu $d$ là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên $a$ và $b$ thì sẽ tồn tại hai số nguyên $x$ và $y$ sao cho $$d = a x + b y.$$

Muốn xác định giá trị của hai số $x$ và $y$ trong bổ đề Bezout, chúng ta có thể dùng thuật toán Euclid. Chúng ta sẽ học về thuật toán này vào kỳ sau.

Chứng minh lại định lý Wilson

Kỳ trước chúng ta đã học về modulo cho số hữu tỷ. Để miêu tả ứng dụng của nó, hôm nay chúng ta sẽ chứng minh lại Định lý Wilson bằng cách sử dụng ngôn ngữ modulo.

Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này được phát biểu như sau.

Định lý Wilson. Nếu $p$ là một số nguyên tố thì $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$

Modulo cho số hữu tỷ II

Ở kỳ trước, chúng ta đã giới thiệu về khái niệm modulo cho số hữu tỷ. Hôm nay, chúng ta tiếp tục học về khái niệm này.

Đầu tiên, chúng ta ôn lại một vài ví dụ và định nghĩa: $$\frac{14}{5} =_{Q} ~0 \pmod{7}, $$ $$ \frac{16}{55} =_{Q} ~\frac{9}{55} =_{Q} ~\frac{2}{55} \pmod{7},$$ $$\frac{1}{4} =_{Q} ~\frac{8}{4} =_{Q} ~2 \pmod{7}, \dots$$

Định nghĩa. Cho $n$ là một số nguyên, và $\alpha$, $\beta$ là hai số hữu tỷ. Chúng ta nói rằng $\alpha$ và $\beta$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên $k$ nguyên tố cùng nhau với $n$ sao cho $k(\alpha - \beta)$ là một số nguyên và $$k(\alpha - \beta) = 0 \pmod{n}.$$

Modulo cho số hữu tỷ

Mấy tháng trước, chúng ta đã đọc một loạt bài về modulo. Đó là modulo cho số nguyên. Xin nhắc lại định nghĩa như sau.

Định nghĩa. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Chúng ta nói rằng $a$ và $b$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$a = b \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $a-b$ là một bội số của $n$.

Ví dụ như $$8 = 0 \pmod{4},$$ $$9 = 1 \pmod{4},$$ $$-5 = -1 = 3 = 7 \pmod{4}, \dots $$

Hôm nay, xin giới thiệu với các bạn một khái niệm mới về modulo cho số hữu tỷ. Trước khi đi vào chi tiết của định nghĩa, chúng ta sẽ liệt kê một vài ví dụ cho các bạn thấy ngay được modulo số hữu tỷ là như thế nào.

Ví dụ về modulo cho số hữu tỷ: $$\frac{8}{5} =_{Q} ~0 \pmod{4}, $$ $$ -\frac{12}{55} =_{Q} ~0 \pmod{4},$$ $$\frac{29}{15} =_{Q} ~\frac{25}{15} = \frac{5}{3} \pmod{4}$$

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Kỳ trước chúng ta đã học về hai công thức nội suy cho đa thức, đó là công thức nội suy Newton và công thức nội suy Lagrange. Cả hai công thức này đều có thể dùng để chứng minh Định lý Wilson.

Ở đây, chúng ta chỉ trình bày một cách chứng minh định lý Wilson sử dụng công thức nội suy Newton. Xin dành cho các bạn phần còn lại, đó là chứng minh Định lý Wilson sử dụng công thức nội suy Lagrange.

Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này nói rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì số $(p−1)!+1$ sẽ chia hết cho $p$.

Đa thức nội suy Lagrange

Hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục học về công thức nội suy cho đa thức. Kỳ trước, chúng ta đã học về công thức nội suy Newton, hôm nay chúng ta học thêm một công thức nội suy khác gọi là công thức nội suy Lagrange.

Chúng ta sẽ dùng ví dụ sau đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$

Chúng ta thấy rằng $P(x)$ là một đa thức bậc hai và chúng ta có thể tính được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$

Bài toán đa thức nội suy là bài toán ngược, tức là, cho biết $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, và $P(3) = 12$, tìm lại đa thức $P(x)$.

Đa thức nội suy Newton

Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức nội suy cho đa thức.

Giả sử chúng ta có đa thức sau đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$

Cho $x$ một vài giá trị, chúng ta tính được giá trị của $P(x)$ như sau $$P(1) = 2 - 3 + 3 = 2,$$ $$P(2) = 8 - 6 + 3 = 5,$$ $$P(3) = 18 - 9 + 3 = 12, \dots$$

Câu hỏi đặt ra là, nếu ngược lại, chúng ta biết được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12,$$ liệu chúng ta có thể tìm lại được đa thức $P(x)$ hay không?

Câu trả lời là được. Công thức đa thức nội suy giúp cho chúng ta tìm lại được đa thức $P(x)$. Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức nội suy Newton, kỳ sau chúng ta sẽ học về công thức nội suy Lagrange.

1 = 2012 = 2013

Ở các bài trước, chúng ta đã học về cách chứng minh bằng quy nạp và đã dùng phương pháp này để giải một số bài toán. Chúng ta có thể thấy rằng phương pháp chứng minh bằng quy nạp rất tiện dụng trong việc giải toán. Hôm nay, chúng ta sẽ xem xét hai cách chứng minh bằng quy nạp dẫn đến một kết quả sai là $$1 = 2012 = 2013$$ Các bạn thử chỉ ra xem cách chứng minh này sai ở đâu nhé.