Hôm nay chúng ta sẽ làm một số bài tập để rèn luyện kỹ năng giải phương trình sai phân tuyến tính.
khơi gợi trí tò mò toán học
Dãy số - Phần 5
Hôm nay chúng ta sẽ làm một số bài tập để rèn luyện kỹ năng giải phương trình sai phân tuyến tính.
Dãy số - Phần 4
Hôm nay chúng ta sẽ học về cách giải phương trình sai phân tuyến tính để tìm công thức tổng quát cho dãy số. Phương pháp này có thể sử dụng ở mọi trường hợp, kể cả trường hợp mà phương trình đặc trưng có nghiệm bội.
Dãy số - Phần 3
Dãy số - Phần 2
Đây là bài thứ hai trong loạt bài về dãy số. Các bạn nên đọc kỹ phần 1 trước khi đọc bài này. Hôm nay chúng ta sẽ học thêm một số thuật ngữ về dãy số, và chúng ta sẽ trình bày phương pháp tổng quát để giải phương trình sai phân tuyến tính.
Dãy số - Phần 1
Hôm nay chúng ta sẽ mở đầu cho một chuổi bài về dãy số. Mục đích của chuổi bài này là trình bày cho các bạn cách tìm công thức tổng quát cho những dãy số xác định bởi các công thức truy hồi tuyến tính. Chúng ta sẽ bắt đầu bài học với những tính chất chung chung của dãy số, cụ thể là chúng ta sẽ học về phép cọng của hai dãy số, và phép nhân một hằng số với một dãy số.
Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal
Kỳ trước chúng ta đã sử dụng kết quả của bài toán xếp hình để chứng minh các hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci. Hôm nay chúng ta tiếp tục đề tài này. Chúng ta sẽ chứng minh các hằng đẳng thức sau $${2011 \choose 0} + {2010 \choose 1} + {2009 \choose 2}+ {2008 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1004}+ {1006 \choose 1005} = F_{2012},$$ $${2012 \choose 0} + {2011 \choose 1} + {2010 \choose 2}+ {2009 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1005}+ {1006 \choose 1006} = F_{2013}.$$
Một cách tổng quát, chúng ta có hằng đẳng thức $$\sum_{v+u=n}{v \choose u} = F_{n+1}.$$ Thông qua hằng đẳng thức này chúng ta thấy một mối liên hệ thú vị giữa dãy số Fibonnaci và tam giác số Pascal.
Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci
Kỳ trước chúng ta đã học về dãy số Fibonacci và về một bài toán xếp hình. Hôm nay chúng ta sẽ sử dụng bài toán xếp hình này để chứng minh một hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci, đó là $$F_{n+m+2} = F_{n+1} F_{m+1} + F_{n+1} F_m + F_n F_{m+1}.$$
Một bài toán cũng như một bức tranh, muốn nhìn thấy vẻ đẹp của nó chúng ta nhìn nó ở nhiều góc cạnh khác nhau. Ví dụ như hằng đẳng thức mà chúng ta học ngày hôm nay, chúng ta có thể chứng minh nó bằng cách sử dụng công thức $$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$$ rồi chúng ta đưa hai vế đẳng thức về bằng nhau qua một vài biến đổi đơn thuần đại số.
Nhưng thay vì chứng minh một cách "khô khan" bằng đại số như vậy, chúng ta sẽ dùng bài toán xếp hình mà chúng ta đã học ở bài trước để trình bày hai cách chứng minh cho hằng đẳng thức này. Hy vọng các bạn sẽ thấy cách chứng minh bằng tổ hợp này thú vị hơn.
Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình
Trước tiên, chúng ta giới thiệu về dãy số Fibonacci. Dãy số Fibonacci $\{F_n\}$ được xác định theo công thức sau đây: $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~F_{n+1} = F_n + F_{n-1}.$$
Do đó $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~F_2 = 1, ~F_3 = 2, ~F_4 = 3, ~F_5 = 5, ~F_6 = 8, ~F_7 = 13, ~F_8 = 21, \dots$$
Công thức Moivre
Ở bài trước chúng ta đã học sơ qua về số phức. Hôm nay chúng ta sẽ học về dạng lượng giác của số phức và công thức Moivre.
Số phức
Hôm nay chúng ta sẽ học về số phức. Điểm mấu chốt của số phức là chúng ta chấp nhận một số mà chúng ta sẽ ký hiệu là $i$. Số $i$ này rất đặc biệt vì $$i^2 = -1.$$
Như vậy số phức sẽ có dạng $$a + ib$$ trong đó $a$ và $b$ là hai số thực. Nếu $b=0$ thì $a + ib = a$ là số thuần thực, còn nếu $a=0$ thì $a + ib = ib$ là số thuần phức. Sau đây là ví dụ về số phức: $$1+ i, ~~ 2 - 3i, ~~ -\sqrt{3} + 4i, ~~5i - 4, ~~6, ~~i, ~~-3i, ~~4 + 2i, \dots$$
Bài toán kết nối facebook
Hôm nay, xin kể với các bạn về "bài toán kết nối facebook"!
Bài toán này nói rằng nếu bạn chọn bất kỳ 6 người nào trên facebook, thì trong 6 người này, bạn có thể chọn ra được 3 người mà, hoặc là, cả 3 người này đều là friend của nhau, hoặc là, trong 3 người này không có ai là friend của ai cả.
Ví dụ, như hình dưới đây, ở phía bên trái chúng ta có 6 bạn: An, Bảo, Cường, Chi, Dũng và Đạt. Nếu như hai bạn là friend của nhau trên facebook thì chúng ta kết nối họ lại bằng một đường màu tím, còn nếu họ không là friend thì chúng ta nối lại bằng đường màu xanh.
Chúng ta thấy rằng trong 6 bạn này, chúng ta có thể chọn ra 3 bạn là An, Dũng và Chi, cả 3 bạn này đều là friend của nhau bởi vì họ được nối bởi các đường màu tím. Trường hợp 3 bạn Đạt, Bảo và Cường cũng vậy.
Còn trong ví dụ phía bên phải, chúng ta có 6 bạn: Kim, Lan, Mai, Nam, Nga và Nhi. Chúng ta có thể chọn ra được 3 bạn là Nga, Mai và Nam, trong 3 bạn này không có ai là friend của ai cả bởi vì các bạn này được nối bởi các đường màu xanh. Ba bạn Nhi, Nam và Mai cũng vậy.
Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme
Kỳ trước chúng ta đã học cách tìm công thức tính tổng các luỹ thừa $$S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k.$$
Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các tính chất chia hết của $S_k(n)$. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_k(p-1) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + (p-1)^k = 0 \pmod{p}.$$
Đồng thời chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về $$S_{-k}(n) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{n^k}.$$
Có một định lý trong số học liên quan đến tính chia hết của $S_{-k}(n)$, đó là Định lý Wolstenholme.
Định lý Wolstenholme. Nếu $p$ là một số nguyên tố $>3$ thì $$S_{-1}(p-1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{p-1} ~=_{Q} ~0 \pmod{p^2} $$ và $$S_{-2}(p-1) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(p-1)^2} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Chúng ta sẽ chứng minh một tính chất tổng quát hơn, đó là nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_{-k}(p-1) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{(p-1)^k} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)