Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Kỳ trước chúng ta đã học cách tìm công thức tính tổng các luỹ thừa $$S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k.$$
Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các tính chất chia hết của $S_k(n)$. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_k(p-1) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + (p-1)^k = 0 \pmod{p}.$$

Đồng thời chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về $$S_{-k}(n) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{n^k}.$$

Có một định lý trong số học liên quan đến tính chia hết của $S_{-k}(n)$, đó là Định lý Wolstenholme.

Định lý Wolstenholme. Nếu $p$ là một số nguyên tố $>3$ thì $$S_{-1}(p-1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{p-1} ~=_{Q} ~0 \pmod{p^2}$$ và $$S_{-2}(p-1) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(p-1)^2} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$

Chúng ta sẽ chứng minh một tính chất tổng quát hơn, đó là nếu $p$ là một số nguyên tố và $k$ không chia hết cho $p-1$ thì $$S_{-k}(p-1) = \frac{1}{1^k} + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{(p-1)^k} ~=_{Q} ~0 \pmod{p}.$$

Tổng luỹ thừa

Hôm nay chúng ta sẽ học về công thức tính tổng các luỹ thừa $$S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k .$$


Công cụ chính mà chúng ta sẽ dùng là nhị thức Newton sau đây $$(x+y)^k = x^k + {k \choose 1} x^{k-1} y + {k \choose 2} x^{k-2} y^2 + {k \choose 3} x^{k-3} y^3 + \dots + {k \choose {k-1}} x y^{k-1} + y^k.$$

Thuật toán Euclid

Kỳ trước chúng ta đã học về bổ đề Bezout. Hôm nay chúng ta sẽ học về thuật toán Euclid. Thuật toán này dùng để xác định các hệ số trong đẳng thức Bezout.

Trước hết chúng ta phát biểu bổ đề Bezout. 

Bổ đề Bezout. Nếu $d$ là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên $a$ và $b$ thì sẽ tồn tại hai số nguyên $x$ và $y$ sao cho $$d = a ~x + b ~y.$$

Thuật toán Euclid mục đích đi tìm ước số chung lớn nhất $d$ của hai số $a$ và $b$, và xác định hai giá trị của $x$ và $y$ trong đẳng thức Bezout $$d = a ~x + b ~y.$$

Ý tưởng của thuật toán Euclid rất đơn giản và tự nhiên.

Bổ đề Bezout

Hôm nay chúng ta sẽ học về một kết quả rất hay trong số học, đó là bổ đề Bezout. Bổ đề này phát biểu như sau.

Bổ đề Bezout. Nếu $d$ là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên $a$ và $b$ thì sẽ tồn tại hai số nguyên $x$ và $y$ sao cho $$d = a x + b y.$$

Muốn xác định giá trị của hai số $x$ và $y$ trong bổ đề Bezout, chúng ta có thể dùng thuật toán Euclid. Chúng ta sẽ học về thuật toán này vào kỳ sau.

Chứng minh lại định lý Wilson

Kỳ trước chúng ta đã học về modulo cho số hữu tỷ. Để miêu tả ứng dụng của nó, hôm nay chúng ta sẽ chứng minh lại Định lý Wilson bằng cách sử dụng ngôn ngữ modulo.

Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này được phát biểu như sau.

Định lý Wilson. Nếu $p$ là một số nguyên tố thì $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$

Modulo cho số hữu tỷ II

Ở kỳ trước, chúng ta đã giới thiệu về khái niệm modulo cho số hữu tỷ. Hôm nay, chúng ta tiếp tục học về khái niệm này.

Đầu tiên, chúng ta ôn lại một vài ví dụ và định nghĩa: $$\frac{14}{5} =_{Q} ~0 \pmod{7},$$ $$\frac{16}{55} =_{Q} ~\frac{9}{55} =_{Q} ~\frac{2}{55} \pmod{7},$$ $$\frac{1}{4} =_{Q} ~\frac{8}{4} =_{Q} ~2 \pmod{7}, \dots$$

Định nghĩa. Cho $n$ là một số nguyên, và $\alpha$, $\beta$ là hai số hữu tỷ. Chúng ta nói rằng $\alpha$ và $\beta$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$\alpha =_{Q} ~\beta \pmod{n}$$ khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên $k$ nguyên tố cùng nhau với $n$ sao cho $k(\alpha - \beta)$ là một số nguyên và $$k(\alpha - \beta) = 0 \pmod{n}.$$

Modulo cho số hữu tỷ

Mấy tháng trước, chúng ta đã đọc một loạt bài về modulo. Đó là modulo cho số nguyên. Xin nhắc lại định nghĩa như sau.

Định nghĩa. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Chúng ta nói rằng $a$ và $b$ bằng nhau modulo $n$, và viết $$a = b \pmod{n}$$ khi và chỉ khi $a-b$ là một bội số của $n$.

Ví dụ như $$8 = 0 \pmod{4},$$ $$9 = 1 \pmod{4},$$ $$-5 = -1 = 3 = 7 \pmod{4}, \dots$$

Hôm nay, xin giới thiệu với các bạn một khái niệm mới về modulo cho số hữu tỷ. Trước khi đi vào chi tiết của định nghĩa, chúng ta sẽ liệt kê một vài ví dụ cho các bạn thấy ngay được modulo số hữu tỷ là như thế nào.

Ví dụ về modulo cho số hữu tỷ: $$\frac{8}{5} =_{Q} ~0 \pmod{4},$$ $$-\frac{12}{55} =_{Q} ~0 \pmod{4},$$ $$\frac{29}{15} =_{Q} ~\frac{25}{15} = \frac{5}{3} \pmod{4}$$