Tam giác đồng dạng


Hôm nay chúng ta sẽ học về tam giác đồng dạng và sẽ dùng tam giác đồng dạng để chứng minh Định lý Pitago. 




"Đồng dạng" là từ Hán Việt, có nghĩa là giống nhau. Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác giống nhau như hình sau đây


Tam giác đồng dạng có hai tính chất quan trọng sau đây:

Ba cặp góc bằng nhau
$$
\angle A = \angle A', ~~~
\angle B = \angle B', ~~~
\angle C = \angle C'
$$

Ba cặp cạnh tỉ lệ với nhau
$$
\frac{AB}{A'B'} =
\frac{BC}{B'C'} =
\frac{CA}{C'A'}
$$


Vậy làm thế nào để chứng minh hai tam giác là đồng dạng với nhau. Thông thường chúng ta có ba cách sau đây.

Trường hợp Góc - Góc: hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau là hai tam giác đồng dạng với nhau

Ở hình dưới đây, nếu chúng ta chỉ ra được $$\angle A = \angle A' ~~{\mathrm{ và }}~~ \angle B = \angle B'$$ thì chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác $ABC$ và  $A'B'C'$ là đồng dạng với nhau.




Trường hợp Cạnh - Cạnh - Cạnh: hai tam giác có ba cặp cạnh tỉ lệ với nhau là hai tam giác đồng dạng với nhau

Ở hình dưới đây, nếu chúng ta chỉ ra được
$$
\frac{AB}{A'B'} =
\frac{BC}{B'C'} =
\frac{CA}{C'A'}
$$
thì chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác $ABC$ và  $A' B' C'$ là đồng dạng với nhau.






Trường hợp Cạnh - Góc - Cạnh: hai tam giác có hai cặp cạnh tỉ lệ với nhau và cặp góc xen giữa hai cặp cạnh này bằng nhau thì đó là hai tam giác đồng dạng với nhau

Ở hình dưới đây, nếu chúng ta chỉ ra được $$\frac{AB}{A' B'} = \frac{BC}{B' C'} ~~~\mathrm{ và }~~~ \angle B = \angle B'$$ thì chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác $ABC$ và  $A' B' C'$ là đồng dạng với nhau.




Nếu hai tam giác là hai tam giác vuông thì việc chứng minh hai tam giác là đồng dạng còn đơn giản hơn nữa. Chúng ta có các cách sau đây.


Trường hợp Góc Nhọn: hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau là hai tam giác đồng dạng với nhau

Ở hình dưới đây, nếu chúng ta chỉ ra được $$\angle A = \angle A'$$ thì chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác vuông $ABC$ và  $A' B' C'$ là đồng dạng với nhau.



Trường hợp Cạnh - Cạnh: hai tam giác vuông có hai cặp cạnh tỉ lệ với nhau là hai tam giác đồng dạng với nhau

Ở hình trên đây, nếu chúng ta chỉ ra được $$\frac{AB}{A' B'} = \frac{BC}{B' C'}, ~~~\mathrm{ hoặc }~~~ \frac{BC}{B' C'} = \frac{CA}{C' A'}, ~~~\mathrm{ hoặc }~~~ \frac{CA}{C' A'} = \frac{AB}{A' B'}$$ thì chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác vuông $ABC$ và  $A' B' C'$ là đồng dạng với nhau.



Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh một định lý hình học cơ bản, đó là định lý Pitago.


Định lý Pitago

Cho tam giác $ABC$ vuông ở đỉnh $A$. Chứng minh rằng
$$ BC^2 = AB^2 + AC^2. $$

Lời giải: Kẻ đường cao $AH$ xuống cạnh $BC$.


Xem xét hai tam giác $ABC$ và $HBA$. Hai tam giác vuông này có một cặp góc nhọn ở đỉnh $B$ bằng nhau. Vì vậy chúng là hai tam giác đồng dạng và chúng ta có cặp cạnh tỉ lệ $$\frac{AB}{HB} = \frac{BC}{BA}.$$ Do đó $$AB^2 = HB \times BC .$$



Tương tự, xem xét hai tam giác $ABC$ và $HAC$. Hai tam giác vuông này có một cặp góc nhọn ở đỉnh $C$ bằng nhau. Vì vậy chúng là hai tam giác đồng dạng và chúng ta có cặp cạnh tỉ lệ $$\frac{AC}{HC} = \frac{BC}{AC}. $$ Do đó $$AC^2 = HC \times BC.$$



Tóm lại chúng ta có
$$ AB^2 + AC^2 = HB \times BC + HC \times BC = BC^2. \blacksquare $$


Các bạn có thể đọc thêm cách chứng minh định lý Morley bằng phương pháp tam giác đồng dạng ở đây http://vuontoanblog.blogspot.com/2012/05/morley-theorem.html.



Bài tập về nhà: Chứng minh định lý đường phân giác sau đây

Cho tam giác ABC. Kẻ đường phân giác AD của góc A. Chứng minh rằng
$$
\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC}.
$$