Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Kỳ trước chúng ta đã sử dụng kết quả của bài toán xếp hình để chứng minh các hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci. Hôm nay chúng ta tiếp tục đề tài này. Chúng ta sẽ chứng minh các hằng đẳng thức sau $${2011 \choose 0} + {2010 \choose 1} + {2009 \choose 2}+ {2008 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1004}+ {1006 \choose 1005} = F_{2012},$$ $${2012 \choose 0} + {2011 \choose 1} + {2010 \choose 2}+ {2009 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1005}+ {1006 \choose 1006} = F_{2013}.$$
Một cách tổng quát, chúng ta có hằng đẳng thức $$\sum_{v+u=n}{v \choose u} = F_{n+1}.$$  Thông qua hằng đẳng thức này chúng ta thấy một mối liên hệ thú vị giữa dãy số Fibonnaci và tam giác số Pascal.

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Kỳ trước chúng ta đã học về dãy số Fibonacci và về một bài toán xếp hình. Hôm nay chúng ta sẽ sử dụng bài toán xếp hình này để chứng minh một hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci, đó là $$F_{n+m+2} = F_{n+1} F_{m+1} + F_{n+1} F_m + F_n F_{m+1}.$$

Một bài toán cũng như một bức tranh, muốn nhìn thấy vẻ đẹp của nó chúng ta nhìn nó ở nhiều góc cạnh khác nhau. Ví dụ như hằng đẳng thức mà chúng ta học ngày hôm nay, chúng ta có thể chứng minh nó bằng cách sử dụng công thức  $$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$$  rồi chúng ta đưa hai vế đẳng thức về bằng nhau qua một vài biến đổi đơn thuần đại số.

Nhưng thay vì chứng minh một cách "khô khan" bằng đại số như vậy, chúng ta sẽ dùng bài toán xếp hình mà chúng ta đã học ở bài trước để trình bày hai cách chứng minh cho hằng đẳng thức này. Hy vọng các bạn sẽ thấy cách chứng minh bằng tổ hợp này thú vị hơn.

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hôm nay chúng ta sẽ học về dãy số Fibonacci và về một bài toán xếp hình. Các bạn sẽ thấy rằng bài toán xếp hình thoạt nghe qua thì không liên quan gì đến dãy số Fibonacci, nhưng cuối cùng đáp số của bài toán xếp hình lại chính là dãy số Fibonacci!

Trước tiên, chúng ta giới thiệu về dãy số Fibonacci. Dãy số Fibonacci $\{F_n\}$ được xác định theo công thức sau đây: $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~F_{n+1} = F_n + F_{n-1}.$$

Do đó $$F_0 = 0, ~F_1 = 1, ~F_2 = 1, ~F_3 = 2, ~F_4 = 3, ~F_5 = 5, ~F_6 = 8, ~F_7 = 13, ~F_8 = 21, \dots$$