1 = 2012 = 2013


các bài trước, chúng ta đã học về cách chứng minh bằng quy nạp và đã dùng phương pháp này để giải một số bài toán. Chúng ta có thể thấy rằng phương pháp chứng minh bằng quy nạp rất tiện dụng trong việc giải toán. Hôm nay, chúng ta sẽ xem xét hai cách chứng minh bằng quy nạp dẫn đến một kết quả sai là $$1 = 2012 = 2013$$ Các bạn thử chỉ ra xem cách chứng minh này sai ở đâu nhé.


Nhị thức Newton


Hôm trước chúng ta đã học về tam giác Pascal và cách khai triển nhị thức Newton dựa vào các hệ số trong tam giác Pascal. Nhân dịp học về quy nạp, chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

  • công thức của tam giác số Pascal $$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$
  • và định lý khai triển nhị thức Newton $$(x+y)^n = x^n + {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + \dots + {n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + {n \choose {n-1}} x y^{n-1} + y^n$$

Quy nạp III


Hôm nay chúng ta giải tiếp một vài bài toán bằng phương pháp quy nạp.


Bài toán 7. Để ý rằng $$\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$$
Chứng minh rằng có thể viết $\cos n\alpha$ thành một đa thức của biến $\cos \alpha$.


Quy nạp II


Hôm nay chúng ta tiếp tục giải tiếp một số bài toán bằng phương pháp quy nạp.

Bài toán 4. Chứng minh rằng $$1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + \dots + n (n+1)(n+2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3).$$


Quy nạp


Hôm nay chúng ta sẽ học về phép quy nạp toán học. Thông thường, chúng ta sẽ dùng quy nạp để chứng minh một phát biểu nào đó đúng với mọi số tự nhiên.

Để tiện cho việc diễn đạt, chúng ta sẽ gọi $P(n)$ là một phát biểu nào đó liên quan đến biến số tự nhiên $n$. Chứng minh bằng quy nạp sẽ gồm các bước sau.

Bước 1: gọi là bước khởi điểm. Chúng ta sẽ chứng minh $P(n)$ đúng cho trường hợp đầu tiên là $n=0$.

Bước 2: gọi là bước quy nạp. Bước này là bước quan trọng nhất. Ở bước này, 
  • chúng ta giả sử rằng $P(n)$ đúng cho các trường hợp $0 \leq n \leq k$, 
  • với giả thiết đó, chúng ta sẽ chứng minh $P(n)$ cũng đúng với trường hợp $n=k+1$. 

Từ hai bước này, theo nguyên lý quy nạp toán học, chúng ta sẽ kết luận rằng $P(n)$ sẽ đúng với mọi số tự nhiên $n$.