modulo - Phần 6


Chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa về modulo. Hai số $a$ và $b$ gọi là bằng nhau theo modulo $n$ nếu $a-b$ là một bội số của $n$, và chúng ta dùng ký hiệu $a = b \pmod{n}$. Ví dụ như $9 = 1 \pmod{8}$ và $14 = -2 \pmod{8}$.

Bình thường chúng ta hình dung các số nguyên nằm trên một trục số và chúng ta làm các phép tính cộng trừ nhân chia trên đó, chẳng hạn như $2 + 7 = 9$, $2 \times 7 = 14$, v.v...
trục số của chúng ta

modulo - Phần 5


Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau học về Định lý Fermat "nhỏ". Chúng ta sẽ thấy rằng định lý nhỏ Fermat rất là tiện dụng trong khi làm các phép tính toán modulo. Định lý này phát biểu như sau. Với mọi số nguyên tố $p$ và với mọi số nguyên $a$ không chia hết cho $p$ thì 
$$ a^{p-1} = 1 \pmod{p} . $$

Ví dụ:
  • Với $p=7$ và $a=3$, $$3^6 = 1 \pmod{7}$$
  • Với $p=13$ và $a=2014$, $$2014^{12} = 1 \pmod{13}$$
  • Với $p=29$ và $a=15$, $$15^{28} = 1 \pmod{29}$$

modulo - Phần 4


Nếu nói về những nhà toán học nổi tiếng qua mọi thời đại thì cần phải nhắc đến Pierre de Fermat. Chúng ta đọc tên ông trong tiếng Việt là Fẹcma. Ông là nhà toán học người Pháp, sống vào thời thế kỷ thứ 17.


Nếu nói về ông thì phải nhắc đến bài toán Fermat của ông. Bài toán đã từng làm điên đầu cho những nhà toán học cỡ hàng đầu thế giới cho đến những em học sinh phổ thông. Cái lý do mà bài toán này có quá nhiều người biết đến, cũng như có quá nhiều người đủ mọi lứa tuổi tham gia giải, là vì nó được phát biểu rất đơn giản, một em học sinh cấp 2 là đã có thể hiểu được.

Bài toán Fermat là như sau. Chứng minh rằng với mọi số $n \geq 3$ thì phương trình sau không có nghiệm
$$
x^n+y^n=z^n
$$

Nghiệm ở đây là nghiệm khác không vì chỉ cần $x$, $y$ hay $z$ bằng 0 thì phương trình trở thành tầm thường rồi.

modulo - Phần 2


Trong bài trước chúng ta đã học về khái niệm modulo. Hai số $a$ và $b$ được gọi là bằng nhau modulo $n$, ký hiệu $a = b \pmod{n}$, khi mà $a-b$ chia hết cho $n$.

Ví dụ $15 = 3 \pmod{4}$ và $99 = -1 \pmod{10}$.


modulo - Phần 1


Trong bài này chúng ta sẽ học về khái niệm modulo. Hai số $a$ và $b$ được gọi là bằng nhau modulo $n$ nếu $a$ và $b$ có cùng số dư khi chia cho $n$. Hay nói cách khác, là $(a-b)$ chia hết cho $n$. Chúng ta sẽ viết $a = b \pmod{n}$.

Ví dụ như, $5 = 9 \pmod{2}$, $-1 = 3 \pmod{2}$, $-2 = -8 \pmod{2}$. Rõ ràng theo modulo 2 thì một số $a$ bất kỳ sẽ hoặc là $a=0 \pmod{2}$ khi nó là số chẳn, hoặc là $a=1 \pmod{2}$ khi nó là số lẽ.